离散数学考前复习：（二）数理逻辑

离散数学考前复习：（二）数理逻辑

2.1 命题及联结词

• 命题：命题是指一个判断（陈述）的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。命题不是指判断（陈述）本身，而是指所表达的语义。当相异判断（陈述）具有相同语义的时候，他们表达相同的命题。

• 命题联结词：
  非：否定联结词（-p为真仅当p为假）
  并：合取联结词（p∧q为真当且仅当q,p同为真）
  或：析取联结词（p∨q为真当且仅当p或q有一为真）
  蕴涵：蕴涵联结词（p→q为假仅当p为真q为假）
  等价：等价联结词（p↔q为真仅当p,q的真值相同）

• 命题联结词的优先级
  （1）否定<合取<析取<蕴涵<等价
  （2）同级的联结词按从左到右确定
  （3）括号优先级最高

2.2 命题公式和分类

• 原子命题公式（合式公式，又称命题公式、公式）：
  (1)单个命题常项或变项是合式公式;
  (2)如果A是合式公式，则﹁A也是合式公式;
  (3)如果A，B是合式公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P↔Q也是合式公式;
  (4)只有有限次地应用(1)~(3)所包含的命题变元，联结词和括号的符号串才是合式公式。

• 成真赋值：指定一组值使A为1

• 成假赋值：指定一组值使A为0

• 真值表

• 重言式（永真式）：A在它的各种赋值下取值均为真

• 矛盾式（永假式）：A在它的各种赋值下取值均为假

• 可满足式：不是矛盾式就是可满足式

2.3等值演算与范式

• 等价（等值）：在任意解释下两个命题真值相同，记做G⇔H（充分必要条件是G↔H永真公式）
• 命题公式
  
• 等值演算
• 简单析取式：每一个析取项或是一个命题变元，或是一个命题变元的否定（p,q,p∨q,p∨┐p∨r,┐p∨q∨┐r.）
• 简单合取式：含有一个变元及其否定的合取式.每一个合取项或为命题变元，或为命题变元的否定的合取式（p,┐r,┐p∧r,┐p∧q∧r,p∧q∧┐q）
• 析取范式：由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。（(┐p∧q)∨r, ┐p∨q∨r, p∨┐q∨r）
• 合取范式：由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。（(p∨q∨r)∧(┐q∨r), ┐p∧q∧r, p∧┐q∧r）
• 范式：析取范式与合取范式统称为范式。
  （1）任何命题公式都存在范式
  （2）任何命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式
• 极小项（极大项）：设由n个命题变项构成的析取范式（合取范式）中所有的简单合取式（简单析取式）都是极小项（极大项），则称该析取范式（合取范式）为主析取范式（主合取范式）。
• 主析取范式：由有限个极小项组成的析取范式称为主析取范式（真值表为1的析取合集）
• 主合取范式：由有限个极大项组成的合取范式称为主合取范式（真值表为0的合取合集）
• 任何命题公式都存在主析取范式和主合取范式，并且是唯一的

2.4 命题逻辑的推理

• 真值表推理：无前提合取式为真，结论为假的情况，推理有效，反之无效
• 演绎证明推理
  重要逻辑推理公式：
  
  （1）前提引入
  （2）结论引入
  （3）置换规则

（吐血ing）