微分几何讲义（修订版） 丘成桐 孙理察 / 高等教育出版社 / 2018-08

内容提要:
本书是在作者一系列演讲的讲稿基础上整理而成的，已成为整体微分几何方面的一本经典著作。它以拓扑、代数几何为基础，以分析为主要工具，论述了几何学中的某些线性和非线性问题。本书内容包括:比较定理与梯度估计、负曲率流形上的调和函数、Riemann流形上的特征值问题、Riemann流形上的热核、纯量曲率的共形形变、局部共形平坦流形等。书中还包括了丘成桐教授撰写的几何中的非线性分析、几何中未解决的问题、几何学未来的发展、几何与分析回顾、复几何的历史及前景等综合性论述与演讲，宏观和精辟地描述了几何学中的重要问题，展示了该学科的历史和未来发展前景。本书可供高等院校数学系高年级学生、研究生作教学用书，也可供几何和分析方面的教师及研究人员参考。

一章比较定理与梯度估计

1.1比较定理

1.2分裂定理

1.3梯度估计

1.4具非负Ricci曲率的完备Riemann流形

二章负曲率流形上的调和函数

2.1几何边界S(∞)及Dirichlet 问题的可解性

2.2Harnack 不等式与Poisson核

2.3Martin 边界与Martin积分表示

2.4Harnack不等式的证明

2.5更一般流形上的调和函数

2.6次调和函数与次中值公式

附录整体 Green函数的存在性

三章 特征值问题

3.1特征值的基本性质

3.2Rieman流形的热核

3.3一特征值上界估计

3.4- -特征值下界估计

3.5高阶特征值的估计

3.6结点集与特征值的重数

3.7相邻两特征值之空隙

3.8与曲面有关的特征值问题

四章Riemann 流形上的热核

4.1热方程的梯度估计

4.2 Harnack 不等式与热核的估计

4.3热核估计的应用

五章纯量 曲率的共形形变

5.1 二维情形

5.2 Yamabe 问题与共形不变量X(M)

5.3共形正规坐标与Green函数的渐近展开5.4 Yamabe 问题的解决

附录Sobolev 不等式中的佳常数

六章 局部共形平坦流形

6.1共形变换与局部共形平坦流形

6.2共形不变量 .

6.3局部共形 平坦流形在sn上的嵌入

6.4局部共形平坦流形的拓扑

6.5与偏微分方 程的关系参考文献(一至六章)

七章问题集

7.1曲率及流形上的拓扑

7.2曲率与复结构

7.3子流形

7.4 谱

7.5与测地线有关的问题

7.6极小子流形

7.7广义相对论和Yang-Mils方程

参考文献

八章几何中的非线性分析

8.1特征值与调和函数

8.2 Yamabe 方程及共形平坦流形.

8.3调和映射

8.4极小子流形

8.5 Kahler几何

8.6复流形上的典则度量

参考文献

九章几何中未解决的问题

9.1度量几何

9.2经典Euclid几何

9.3 偏微分方程

9.4 Kahler 几何学

参考文献

附录I

几何学的未来发展

附录I

几何与分析回顾

附录亚

复几何的历史及前景

索引

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