罗德里格旋转和李群、李代数的指数映射的关系

        先来说一下罗德里格公式的作用：已知一向量，知道旋转轴和旋转角度，可求得旋转后的向量。简单地说，知道旋转轴和旋转角度，可以求得旋转矩阵。

        接下来用图解方式，给出罗德里格旋转公式的证明（理解证明，对矩阵、向量、叉乘、点乘的几何意义会有质的提高）

                               

        恩，接下来对这张大图，进行下分析：已知一向量p，知道旋转轴u(满足范数为1，即单位矢量)，旋转角度。接下来对图中的标号做一下分析：

1. 右上角蓝色的（p.u）代表p与u的内积，（p.u）u代表向量p在旋转轴上的投影，即如果把u比作z轴，则（p.u）代表向量p的z坐标的大小。
2. p-(p.u)u则可以比作向量p在垂直于z轴（u）的平面上的投影，该平面上的投影矢量为v
3. = w ，这样便根据旋转轴建立了一个坐标系（u-v-w）
4. 向量p绕u轴旋转，对应u轴的坐标不变，只是垂直于u轴平面的投影矢量发生变化，变化后的投影矢量是(这里有个疑惑，w轴上为0,为什么还要做转换处理呢)
5. 将对应的u、v带入上式，并加上u轴对应坐标的矢量即
6. 根据内积和叉积的运算，上式可转换成
7. p向量经旋转轴、旋转角度转换后的向量为：
8. ,可得罗德里格公式：

对于已知旋转矩阵，可根据如下式子求旋转轴和旋转角度：

   式中为矩阵R的迹，

SO(3)的指数坐标：

根据和的泰勒展开，以及将的奇次项转换成的表达式，将的偶次项转换成平方向(详细的转换推导可看《视觉SLAM十四讲》P69)，则上式可以转换成：

可见SO(3)的指数坐标形式和罗德里格旋转公式是一样的。并可以进一步推导出该式恰好等于u

好了，写这么多，只是想说明一点：冥冥之中这些知识有相通之处~

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