张量网络

布尔变量#CSP问题的 第二易解类Product Type的回顾

• $=k是[a,0,...,0,b]函数类子集$
• $\ne 2,[0,1,0]$
• 从一个$[a,0,...,0,b]$函数外部边中选几个连$\ne 2$函数，得到一张量网络，其函数就是$ϵ$中的函数
• $ϵ$定义？Product Type与其关系？
• $\#CSP(P)$ 即计算$\{=k\}$和$P$构成的张量网络，等价于
• $\{=k\}$和$ϵ$构成的张量网络，等价于
• 计算$\{[a,0,...,0,b]\}$和$\{0,1,0\}$构成的张量网络
• $\{[a,0,...,0,b]\}$和$\{0,1,0\}$构成的连通的张量网络，至多只有两个变量赋值对应的乘积项（被求和项）目非零。
• 总结：找$P$的生成元，然后只讨论生成元的张量网络算法。

图同态数目问题的一个易解类

• 图$H$同态数目问题，问输入图$G$到$H$的同态映射数目
  
• 就是一个二元函数$H$定义的#CSP问题
• 如果二元函数$H$的矩阵形式的秩$\le 1$，有多项式
  (值域$\ge 0$，假设$H$连通，这是二分定理的一个易解类)

H秩为1时的算法

• $(M\otimes N{)}_{x_1,x_2}=M_{x_1}{N}_{x_2}$
• $M{N}^{\prime }$

• 因为$H$秩为1，设$H=a{b}^{\prime }$
  
  
• 每个连通分支是一个星，中心函数是相等函数，只有俩赋值可以满足它。

图同态数目问题的另一个易解类简介

迹

• $trace(ABC)={\sum }_{e_i\in [d]}{A}_{e_1{e}_2}{B}_{e_2{e}_3}{C}_{e_3{e}_1}$
• 同图，不同画法可表示trace(BCA)和trace(C‘B’A’)
• 量子物理用到partial trace

边与二元相等函数

• 边是一个出现两次的变量，在俩顶点上
• 相当于一个“=2”

不带外部边的张量网络与计数问题

• 一个函数都来自一集合$F$的张量网络求值问题，记为$\#F$
  (Holant问，read-twice #CSP问)
• #CSP中，变量可用多，Holant中，一边只能两

取一函数集合$F$

• #F实例也是#CSP(F)实例
• 前可规约到后，前#P难，后也是；后有算法，前也有。

Holant问题类$\{\#F|F是个函数集合\}$
#CSP问题类$\{\#CSP(F)|F是个函数集合\}$

• 后是前子集
• $\#CSP(F)=\#F\cup \{=1,=2,...,=k,...,\}$

计数问题的偶图输入

构件归约

• 最朴素的计数问题$A\le B$方法，是构造$B$中啥？(英文？，即啥？)模拟A中函数。原因是？
• 平行的，把计数问题换成判定问题，即张量网络中的$\sum \prod$换成$\vee \wedge$，也有归约，结合律。

例：
在证明$\#CSP(F)=\#F\cup \{=1,=2,...,=k,...,\}$时，如果后者中有几个相等函数连在一起，这个构件的函数还是相等，可被$\#CSP$中一变量模拟。

回顾一个张量网络

• $F(M^{\otimes 3})$
  

全息归约：Holant定理

• $AB=(AM)(M^{-1}B)$
  
• 定理（Valiant2004）
• $\#\{F\}|\{G\}$和$\#\{f\}|\{g\}$相等
• $F=f{M}^{\otimes 3}$
• $(M^{-1}{)}^{\otimes 2}h=H$

全息归约的另一个一般形式

• 结合$(AB)C=A(BC)$
• $\#\{F{M}^{\otimes 3}\}|\{H\}$等于$\#\{F\}|\{M^{\otimes 2}H\}$

回顾–用图证明代数运算律