HDU 1402 A * B Problem Plus (FFT求高精度乘法)

A * B Problem Plus

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Problem Description

Calculate A * B.

 

 

Input

Each line will contain two integers A and B. Process to end of file.

Note: the length of each integer will not exceed 50000.

 

 

Output

For each case, output A * B in one line.

 

 

Sample Input

1 2 1000 2

 

 

Sample Output

2 2000

 

 

Author

DOOM III

 

 

Recommend

DOOM III

 

 

 

 

 

神奇的FFT。

如果是乘法，位数为n和位数为m的相乘，需要n*m次的乘法运算。

FFT在数字信号处理学过，但是第一次用来做这类题目，神奇啊。

乘法其实就是做线性卷积。

用DFT得方法可以求循环卷积，但是当循环卷积长度L≥N+M-1，就可以做线性卷积了。

使用FFT将两个数列转换成傅里叶域，在这的乘积就是时域的卷积。

 

给几个学习的链接吧：

http://wenku.baidu.com/view/8bfb0bd476a20029bd642d85.html  （这主要看那个FFT的流程图）

http://wlsyzx.yzu.edu.cn/kcwz/szxhcl/kechenneirong/jiaoan/jiaoan3.htm   这有DFT的原理。

 

整理了个模板，感觉很赞！

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <math.h>

using namespace std;



const double PI = acos(-1.0);

//复数结构体

struct complex

{

    double r,i;

    complex(double _r = 0.0,double _i = 0.0)

    {

        r = _r; i = _i;

    }

    complex operator +(const complex &b)

    {

        return complex(r+b.r,i+b.i);

    }

    complex operator -(const complex &b)

    {

        return complex(r-b.r,i-b.i);

    }

    complex operator *(const complex &b)

    {

        return complex(r*b.r-i*b.i,r*b.i+i*b.r);

    }

};

/*

 * 进行FFT和IFFT前的反转变换。

 * 位置i和 （i二进制反转后位置）互换

 * len必须去2的幂

 */

void change(complex y[],int len)

{

    int i,j,k;

    for(i = 1, j = len/2;i < len-1; i++)

    {

        if(i < j)swap(y[i],y[j]);

        //交换互为小标反转的元素，i<j保证交换一次

        //i做正常的+1，j左反转类型的+1,始终保持i和j是反转的

        k = len/2;

        while( j >= k)

        {

            j -= k;

            k /= 2;

        }

        if(j < k) j += k;

    }

}

/*

 * 做FFT

 * len必须为2^k形式，

 * on==1时是DFT，on==-1时是IDFT

 */

void fft(complex y[],int len,int on)

{

    change(y,len);

    for(int h = 2; h <= len; h <<= 1)

    {

        complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));

        for(int j = 0;j < len;j+=h)

        {

            complex w(1,0);

            for(int k = j;k < j+h/2;k++)

            {

                complex u = y[k];

                complex t = w*y[k+h/2];

                y[k] = u+t;

                y[k+h/2] = u-t;

                w = w*wn;

            }

        }

    }

    if(on == -1)

        for(int i = 0;i < len;i++)

            y[i].r /= len;

}

const int MAXN = 200010;

complex x1[MAXN],x2[MAXN];

char str1[MAXN/2],str2[MAXN/2];

int sum[MAXN];

int main()

{

    while(scanf("%s%s",str1,str2)==2)

    {

        int len1 = strlen(str1);

        int len2 = strlen(str2);

        int len = 1;

        while(len < len1*2 || len < len2*2)len<<=1;

        for(int i = 0;i < len1;i++)

            x1[i] = complex(str1[len1-1-i]-'0',0);

        for(int i = len1;i < len;i++)

            x1[i] = complex(0,0);

        for(int i = 0;i < len2;i++)

            x2[i] = complex(str2[len2-1-i]-'0',0);

        for(int i = len2;i < len;i++)

            x2[i] = complex(0,0);

        //求DFT

        fft(x1,len,1);

        fft(x2,len,1);

        for(int i = 0;i < len;i++)

            x1[i] = x1[i]*x2[i];

        fft(x1,len,-1);

        for(int i = 0;i < len;i++)

            sum[i] = (int)(x1[i].r+0.5);

        for(int i = 0;i < len;i++)

        {

            sum[i+1]+=sum[i]/10;

            sum[i]%=10;

        }

        len = len1+len2-1;

        while(sum[len] <= 0 && len > 0)len--;

        for(int i = len;i >= 0;i--)

            printf("%c",sum[i]+'0');

        printf("\n");

    }

    return 0;

}