解方程 ( 迭代法/牛顿迭代/高斯消元 ) 详解及模板

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一.迭代法解方程 ( 组 ) 的根

 

本篇一、二部分转自“星博”：https://blog.csdn.net/Akatsuki__Itachi/article/details/80719686

 

首先，迭代法解方程的实质是按照下列步骤构造一个序列x0,x1,…,xn,来逐步逼近方程f(x)=0的解:

1）选取适当的初值x0；

2）确定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程f(x)=0改写为x=φ(x)的等价形式；

3)   构造序列x0，x1，……，xn，即先求得x1=φ(x0)，再求x2=φ(x1)，……如此反复迭代，就得到一个数列x0， x1，……，xn，若这个数列收敛，即存在极值，且函数 φ(x)连续，则很容易得到这个极限值,x*就是方程f(x)=0的根。

 

举个例子：

求解方程： f(x) =x^3-x-1=0  在区间 （1，1.5）内的根。

首先我们将方程写成这种形式：

用初始根x0=1.5带入右端，可以得到

这时，x0和x1的值相差比较大，所以我们要继续迭代求解，将x1再带入公式得

直到我们我们得到的解的序列收敛，即存在极值的时候，迭代结束。

下面是这个方程迭代的次数以及每次xi的解（i=0,1,2....）

 

我们发现当k=7和8的时候，方程的解已经不再发生变化了，这时候我们就得到了此方程的近似解。

算法核心：

#define eps 1e-8
int main()
{
    x0=初始近似根；
    do{
        x1=x0;
        x0=g(x1); //按特定的方程计算新的近似根
    }while(fabs(x0-x1)>Epsilon);
    printf("方程的近似根是%f\n",x0);
}

 

注意：如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，那么迭代过程就会变成死循环。因此，在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在算法中对迭代次数给予限制。

 

下面再写一个求解方程组的例子加深一下理解：

 

算法说明：

方程组解的初值X=（x0，x1，…，xn-1）,迭代关系方程组为：xi=gi(X)(i=0,1,…,n-1),w为解的精度,maxn为迭代次数。

算法如下：

int main()
{
    for (i=0;iw and k

选取初始向量 

精确度为1e-8，迭代次数为10.

求解代码如下：

#include
#include
#include
#include
#define eps 1e-8
using namespace std;
const int maxn=100;
double x[10],y[10];
int main()
{
    for(int i=1;i<=4;i++)
        x[i]=0;
    int cnt=0;
    double c=0;
    do{
        for(int i=1;i<=4;i++)
            y[i]=x[i];
        for(int i=1;i<=4;i++)
        {
            x[1]=(6+x[2]-2*x[3])/10;
            x[2]=(25+x[1]+x[3]-3*x[4])/11;
            x[3]=(-11-2*x[1]+x[2]+x[4])/10;
            x[4]=(15-3*x[2]+x[3])/8;
        }
        c=0;
        for(int i=1;i<=4;i++)
            c+=(fabs(y[i]-x[i]));
    }while(c>eps&&cnt

运行结果如下：

 

迭代法求解方程的过程是多样化的，比如牛顿迭代法，二分逼近法求解等。

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二.牛顿迭代法

 

下面就是效率比较高且比较常用的牛顿迭代法：

牛顿迭代法又称为切线法，它比一般的迭代法有更高的收敛速度，如下图所示。

首先, 选择一个接近函数f(x)零点的x0, 计算相应的f(x0)和切线斜率f'(x0)（这里f '  表示函数f的导数）。然后我们计算穿过点   (x0,f (x0))且斜率为f '(x0)的直线方程

和x轴的交点的x的坐标，也就是求如下方程的解

将新求得交点的x坐标命名为x1。如图4所示，通常x1会比x0更接近方程f(x) = 0的解。接下来用x1开始下一轮迭代 .

迭代公式可化简为：

上式就是有名的牛顿迭代公式。已经证明, 如果f'  是连续的, 并且待求的零点x是孤立的, 那么在零点x周围存在一个区域, 只要初始值x0位于这个邻近区域内, 那么牛顿法必定收敛。

 

求形如ax^3+bx^2+cx+d=0方程根的算法，系数a、b、c、d的值依次为1、2、3、4，由主函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后由主函数输出。

 

由以上的公式可得到代码：

#include
#include
#include
#include
#define eps 1e-8
using namespace std;
int main()
{
    double a,b,c,d;
    cin>>a>>b>>c>>d;
    double x1=1,x,f,fx;
    do{
        x=x1;
        f=((a*x+b)*x+c)*x+d;
        fx=(3*a*x+2*b)*x+c;
        x1=x-f/fx;
    }while(fabs(x1-x)>=eps);
    printf("%.2lf",x1);
}

结果如下：

 

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三.二分逼近法

 

接下来说一下二分逼近法：

用二分法求解方程f(x)=0根的前提条件是：f(x)在求解的区间[a,b]上是连续的，且已知f(a)与f(b)异号，即 f(a)*f(b)<0。

令[a0,b0]=[a,b]，c0=(a0+b0)/2，若f(c0)=0，则c0为方程f(x)=0的根；否则，若f(a0)与f(c0)异号，即 f(a0)*f(c0)<0，则令[a1,b1]=[a0,c0]；若f(b0)与f(c0)异号，即 f(b0)*f(c0)<0，则令[a1,b1]=[c0,b0]。

 依此做下去，当发现f(cn)=0时，或区间[an,bn]足够小，比如| an-bn |<0.0001时，就认为找到了方程的根。

 

例：

用二分法求一元非线性方程f(x)= x^3/2+2x^2-8=0（其中^表示幂运算）在区间[0，2]上的近似实根r，精确到0.0001.

算法如下：

int main( )
{
    double x,x1=0,x2=2,f1,f2,f;
    print(“input a,b (f(a)*f(b)<0)”);
    input(a,b);
    f1=x1*x1*x1/2+2*x1*x1-8;
    f2=x2*x2*x2/2+2*x2*x2-8;
    if(f1*f2>0)
    {
        printf("No root");
        return;
    }
    do{
        x=(x1+x2)/2;
        f=x*x*x/2+2*x*x-8;
        if(f=0)
            break;
        if(f1*f>0.0)
        {
            x1=x;
            f1=x1*x1*x1/2+2*x1*x1-8;
        }
        else
            x2=x;
    }
    while(fabs(f)>=1e-4);
    print("root=",x);
}

 

 

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三.高斯消元入门详解及模板

 

此部分主要讲述解方程的方法，便于以后查找，转载于dalao博客：https://blog.csdn.net/pengwill97/article/details/77200372，先感谢大佬。

 

1、基本描述

学习一个算法/技能，首先要知道它是干什么的，那么高斯消元是干啥的呢？

高斯消元主要用来求解线性方程组，也可以求解矩阵的秩，矩阵的逆。在ACM中是一个有力的数学武器.

它的时间复杂度是n^3，主要与方程组的个数，未知数的个数有关。

那么什么是线性方程组呢? 
简而言之就是有多个未知数，并且每个未知数的次数均为一次，这样多个未知数组成的方程组为线性方程组。

2、算法过程

其实高斯消元的过程就是手算解方程组的过程，回忆一下小的时候怎么求解方程组：加减消元，消去未知数，如果有多个未知数，就一直消去，直到得到类似kx=b（k和b为常数，x为未知数）的式子，就可以求解出未知数x，然后我们回代，依次求解出各个未知数的值，就解完了方程组。 
换句话说，分两步： 
1). 加减消元 
2). 回代求未知数值

高斯消元就是这样的一个过程。 
下面通过一个小例子来具体说明

0).求解方程组

有这样一个三元一次方程组： 

⎧⎩⎨⎪⎪2x+y+z=16x+2y+z=−1−2x+2y+z=7①②③{2x+y+z=1①6x+2y+z=−1②−2x+2y+z=7③

 

1).消去x

①×(−3)+②①×(−3)+②得到 
0x−y−2z=−40x−y−2z=−4

①+③①+③得到 
0x+3y+2z=80x+3y+2z=8

从而得到 

⎧⎩⎨⎪⎪2x+y+z=10x−y−2z=−40x+3y+2z=8①②③{2x+y+z=1①0x−y−2z=−4②0x+3y+2z=8③

 

2).消去y

②×3+③②×3+③得到 
0x+0y−4z=−40x+0y−4z=−4

进而得到 

⎧⎩⎨⎪⎪2x+y+z=10x−y−2z=−40x+0y−4z=−4①②③{2x+y+z=1①0x−y−2z=−4②0x+0y−4z=−4③

 

至此，我们已经求解出来了 

z=1z=1

 

下一步我们进行回代过程

3).回代求解y

将z=1z=1带入②②，求得 

y=2y=2

进而得到 

⎧⎩⎨⎪⎪2x+y+z=1y=2z=1①②③{2x+y+z=1①y=2②z=1③

 

4).回代求解x

将z=1,y=2z=1,y=2带入①①，求得 

x=−1x=−1

 

最终得到 

⎧⎩⎨⎪⎪x=−1y=2z=1①②③{x=−1①y=2②z=1③

 

至此，整个方程组就求解完毕了。

 

3、再解算法

对于方程组，其系数是具体存在矩阵(数组)里的，下面在给出实际在矩阵中的表示（很熟悉就可以跳过不看啦~）

 

0).求解方程组

 

⎡⎣⎢⎢⎢⎢x26−2y122z111val117⎤⎦⎥⎥⎥⎥[xyzval21116211−2217]

 

1).消去x

 

⎡⎣⎢⎢⎢⎢x200y1−13z1−22val1−48⎤⎦⎥⎥⎥⎥[xyzval21110−1−2−40328]

 

2).消去y

 

⎡⎣⎢⎢⎢⎢x200y1−10z1−2−4val1−4−4⎤⎦⎥⎥⎥⎥[xyzval21110−1−2−400−4−4]

 

3).回代求解y

回代的时候，记录各个变量的结果将保存在另外一个数组当中，故保存矩阵的数组值不会发生改变，该矩阵主要进行消元过程。 

⎡⎣⎢⎢⎢⎢x200y1−10z1−2−4val1−4−4⎤⎦⎥⎥⎥⎥[xyzval21110−1−2−400−4−4]

 

4、再再解算法

说了这么多，其实有一些情况我们还没有说到。 
通过上述的消元方法，其实我们比较希望得到的是一个上三角阵(省去了最后的val) 

⎡⎣⎢⎢2001−101−2−4⎤⎦⎥⎥[2110−1−200−4]

 

下面问题来了： 
Q1：系数不一定是整数啊？ 
A1：这时候数组就要用到浮点数了！不能是整数！

Q2：什么时候无解啊？ 
A2：消元完了，发现有一行系数都为0，但是常数项不为0，当然无解啦！比如： 

⎡⎣⎢⎢⎢⎢x200y1−10z1−20val1−45⎤⎦⎥⎥⎥⎥[xyzval21110−1−2−40005]

 

Q3：什么时候多解啊？ 
A3：消元完了，发现有好几行系数为0，常数项也为0，这样就多解了！有几行为全为0，就有几个自由元，所谓自由元，就是这些变量的值可以随意取，有无数种情况可以满足给出的方程组，比如： 

⎡⎣⎢⎢⎢⎢x200y100z100val100⎤⎦⎥⎥⎥⎥[xyzval211100000000]

您说这x,y,z不是无数组解嘛！

 

Q4：那什么时候解是唯一的啊！ 
A4：您做一下排除法，不满足2和3的，不就是解释唯一的嘛！其实也就是说我们的系数矩阵可以化成上三角阵。

 

5、代码实现

啰里啰嗦说了一堆，想必算法的流程已经熟悉了，那么高斯消元如何用代码实现呢？ 

戳这里有更多类型的 高斯消元模板。

(以下参考kuangbin大牛的模板)

 

 

 

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=50;
int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元
int gcd(int a,int b)
{
    if(b == 0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
inline int lcm(int a,int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var)
{
    int i,j,k;
    int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
    int col;//当前处理的列
    int ta,tb;
    int LCM;
    int temp;
    for(int i=0; i<=var; i++)
    {
        x[i]=0;
        free_x[i]=true;
    }

    //转换为阶梯阵.
    col=0; // 当前处理的列
    for(k = 0; k < equ && col < var; k++,col++) // 枚举当前处理的行.
    {
        // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
        max_r=k;
        for(i=k+1; iabs(a[max_r][col]))
                max_r=i;
        }
        if(max_r!=k) // 与第k行交换.
        {
            for(j=k; j= 0; i--)
    {
        temp = a[i][var];
        for (j = i + 1; j < var; j++)
        {
            if (a[i][j] != 0)
                temp -= a[i][j] * x[j];
        }
        if (temp % a[i][i] != 0)
            return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
        x[i] = temp / a[i][i];
    }
    return 0;
}
int main(void)
{
    int i, j,equ,var;
    while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for (i = 0; i < equ; i++)
            for (j = 0; j < var + 1; j++)
                scanf("%d", &a[i][j]);
        int free_num = Gauss(equ,var);
        if (free_num == -1)
            printf("无解!\n");
        else if (free_num == -2)
            printf("有浮点数解，无整数解!\n");
        else if (free_num > 0)
        {
            printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                if (free_x[i])
                    printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
                else
                    printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
            }
        }
        else
        {
            for (i = 0; i < var; i++)
                printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}