极限求解--泰勒公式理解

本文来自于公众号【考研数学直线笔记】

0 序言

  泰勒公式，本质上是一种函数的近似，强大之处就在于可以将不同类型的函数，统一用多项式求和的形式进行替换，从而变成多项式的运算。
  本篇主要是标出常见的几个泰勒展开式、高阶无穷小的计算规则、泰勒公式使用时应该展开到第几项。

1 常见的泰勒公式

【记忆】
  一般情况下，考研只会考到某一基本函数展开式x的3到4次方，因为题目大多数都是有两个及以上基本函数相乘或者复合函数等来进行出题，这样的计算量可能就到5甚至6次方了，所以我们记忆时一般最多只需要记到4次方项就可以了。
  我们可以看到，(1)~(4)，都是奇函数，所以记住x只会有奇数次方，(1)和(2)、(3)和(4)的第2项系数相反，这样我们记住(1)(3)就容易可以想起(2)(4)，(5)的cos是sin的导数，所以记住(1)亦可推出(5)。  当然，等价无穷小代换时，x也可以进行广义化，题目一般都是广义化的无穷小量，大家可以以记泰勒公式为主，然后由泰勒公式直接得到等价无穷小代换，对一些不熟悉的或者不能直接从泰勒公式看出来的，再加强记忆。

2 高阶无穷小的计算规则

3 展开到第几项

  对于泰勒公式的应用，除了公式相对比较难记外，展开式需要到第几项有时也是我们所疑惑的，展开项不足时容易漏项甚至有时候出现相减为0，展开项多了就难免增加计算量。在这里，主要介绍两个原则，分别是分式“上下同阶”原则、加减“幂次最低”原则。

3.1 分式“上下同阶”

  简单来说，如果分母（或分子）是x的k次方，则应该把分子（或分母）展开到x的k次方。（一般情况都是看分母然后决定分子的展开）

3.2 加减“幂次最低”

  如A-B，简单来说，就是将A、B分别展开到它们的系数不相等的x的最低次幂为止。

4 例子解析

  下面举个基础的题目例子，用泰勒公式来对上面的两个原则做进一步的解释分析：