uoj 348&LibreOJ 2340 [WC2018]州区划分 状压dp+FMT

题意

给出一个n个点m条边的无向图，要求把点集分成若干个集合，满足每个集合非空且其导出子图中不存在欧拉回路。
给定一个数组 wi w i ，求对于所有合法的划分 {S1,S2..Sk} { S 1 , S 2 . . S k } ，下面式子之和：

(∏i=1k∑x∈Siwx∑ij=1∑x∈Sjwx)p ( ∏ i = 1 k ∑ x ∈ S i w x ∑ j = 1 i ∑ x ∈ S j w x ) p

n≤21,0≤p≤2 n ≤ 21 , 0 ≤ p ≤ 2

分析

O(3n) O ( 3 n ) 的dp就十分显然了，现在考虑如何将其优化到 O(n22n) O ( n 2 2 n ) 。
设 g(S)=0/1 g ( S ) = 0 / 1 表示 S S 这个集合是否合法， sum(S) s u m ( S ) 表示 S S 这个集合的权值和。
我们设 f(i,S) f ( i , S ) 表示选了若干个集合出来，其中一个点可以在多个集合内，他们的并集为 S S ，且每个集合的元素数量和为 i i 时的贡献和。
显然 f(n,2n−1) f ( n , 2 n − 1 ) 就是答案。
推一下不难发现转移

f(i,S)=∑j∑|T|=j∑A[A|T=S]f(i−j,A)g(T)(sum(T)sum(S))p f ( i , S ) = ∑ j ∑ | T | = j ∑ A [ A | T = S ] f ( i − j , A ) g ( T ) ( s u m ( T ) s u m ( S ) ) p

现在就好办了，我们可以枚举一个 i i ，枚举一个 j j ，然后把 f(i−j) f ( i − j ) 和 g g 进行或卷积就好了，其中要求 g g 中集合的大小均为 j j 。
如果把数组均保存为FMT后的形式，那么或卷积一次的时间复杂度是 O(2n) O ( 2 n ) ，这时总的复杂度就是 O(n22n) O ( n 2 2 n ) 了。

代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=25;
const int M=2100005;
const int MOD=998244353;

int n,m,p,ny[4410005],sum[M],g[N][M],bin[N],f[N][M],cnt[M],fa[N],deg[N];
struct edge{int x,y;}e[N*N];

int find(int x)
{
    if (fa[x]==x) return x;
    else return fa[x]=find(fa[x]);
}

int ksm(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;
        x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;
    }
    return ans;
}

void FMT(int *f,int c)
{
    for (int i=0;ifor (int j=bin[n]-1;j>=0;j--)
            if (j&bin[i]) (f[j]+=c*f[j-bin[i]])%=MOD;
}

bool check(int s)
{
    for (int i=0;i0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=e[i].x-1,y=e[i].y-1;
        if (!(s&bin[x])||!(s&bin[y])) continue;
        deg[x]^=1;deg[y]^=1;
        if (find(x)!=find(y)) fa[find(x)]=find(y);
    }
    int s1=0,s2=0;
    for (int i=0;iif (s&bin[i]) s1+=deg[i],s2+=(fa[i]==i);
    return s1||s2>1;
}

void prework()
{
    ny[0]=ny[1]=1;
    for (int i=2;i<=n*100*n*100;i++) ny[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*ny[MOD%i]%MOD;
    for (int i=1;i0][i]=check(i),sum[i]=sum[i-(i&(-i))]+sum[i&(-i)],cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
    for (int i=1;i0][i]*=sum[i],g[cnt[i]][i]=g[0][i];
    for (int i=1;i<=n;i++) FMT(g[i],1);
}

void solve()
{
    f[0][0]=1;
    FMT(f[0],1);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=i;j++)
            for (int k=0;k*g[j][k]%MOD)%=MOD;
        FMT(f[i],-1);
        for (int j=0;j*ny[sum[j]]%MOD;
        FMT(f[i],1);
    }
    FMT(f[n],-1);
    printf("%d",(f[n][bin[n]-1]+MOD)%MOD);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    bin[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) bin[i]=bin[i-1]*2;
    for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&e[i].x,&e[i].y);
    for (int i=0,x;i"%d",&x),sum[bin[i]]=x;
    prework();
    solve();
    return 0;
}