[BZOJ]5093: [Lydsy1711月赛]图的价值 NTT+第二类斯特林数

Description

“简单无向图”是指无重边、无自环的无向图（不一定连通）。
一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和。
给定n和k，请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和。
因为答案很大，请对998244353取模输出。

Solution

考虑每个点的贡献，容易得到如下式子：$$ans=n\times 2^{\frac{n(n-1)}{2}-n+1}\sum _{i=1}^{n-1}{C}_{n-1}^i{i}^k$$
前面的一堆很好算，先丢掉，考虑后面的怎么求。试着用第二类斯特林数把后面的$i^k$展开一下：$$\sum _{i=1}^{n-1}{C}_{n-1}^i\sum _{j=1}^{min(n,k)}S(k,j)C_i^{j}j!$$交换求和顺序：$$\sum _{j=1}^{k}S(k,j)j!(\sum _{i\ge j}{C}_{n-1}^i{C}_i^j)$$
此时发现不会搞了，考虑后面那个东西的组合意义：先从$n-1$个中选出$j$个，然后剩下的选不选都可以。所以后面的那堆其实等于：$$C_{n-1}^j{2}^{n-1-j}$$
然后我们用容斥求第二类斯特林数的那个式子，用NTT先算出斯特林数，然后再算这个式子就可以了。

Code

#include
using namespace std;
#define LL long long
#define pa pair
const int Maxn=200010;
const int inf=2147483647;
const int mod=998244353,gn=3;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return x*f;
}
void upd(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
void cmin(int&x,int y){x=min(x,y);}
void cmax(int&x,int y){x=max(x,y);}
int n,k,A[Maxn<<2],B[Maxn<<2];
int Pow(int x,LL y)
{
    if(!y)return 1;
    int t=Pow(x,y>>1),re=(LL)t*t%mod;
    if(y&1)re=(LL)re*x%mod;
    return re;
}
int fac[Maxn],fin[Maxn];
void pre()
{
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=k;i++)fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
    fin[k]=Pow(fac[k],mod-2);for(int i=k-1;i>=0;i--)fin[i]=(LL)fin[i+1]*(i+1)%mod;
}
int C(int n,int m)
{
    if(n<m)return 0;
    return(LL)fac[n]*fin[m]%mod*fin[n-m]%mod;
}
int rev[Maxn<<2];
void NTT(int *a,int n,int o)
{
    for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        int wn;
        if(o==1)wn=Pow(gn,(mod-1)/(i<<1));
        else wn=Pow(gn,mod-1-(mod-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
        {
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;k++)
            {
                int t=(LL)a[i+j+k]*w%mod;w=(LL)w*wn%mod;
                a[i+j+k]=(a[j+k]-t+mod)%mod;
                a[j+k]=(a[j+k]+t)%mod;
            }
        }
    }
    if(o==-1)
    {
        int inv=Pow(n,mod-2);
        for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(LL)a[i]*inv%mod;
    }
}
int main()
{
    n=read(),k=read();k=min(k,n);
    pre();
    int m=1;while(m<=((k+1)<<1))m<<=1;
    rev[0]=0;for(int i=1;i<m;i++)rev[i]=((rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(m>>1)));
    for(int i=0;i<=k;i++)
    if(i&1)A[i]=mod-fin[i];
    else A[i]=fin[i];
    for(int i=0;i<=k;i++)B[i]=(LL)Pow(i,k)*fin[i]%mod;
    NTT(A,m,1),NTT(B,m,1);
    for(int i=0;i<m;i++)A[i]=(LL)A[i]*B[i]%mod;
    NTT(A,m,-1);
    int ans=0,C=n-1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        upd(ans,(LL)A[i]*fac[i]%mod*C%mod*Pow(2,n-1-i)%mod);
        C=(LL)C*(n-i-1)%mod;
        C=(LL)C*Pow(i+1,mod-2)%mod;
    }
    ans=(LL)ans*n%mod;
    LL t=(LL)n*(n-1)/2LL-n+1LL;
    ans=(LL)ans*Pow(2,t)%mod;
    printf("%d",ans);
}