Nature Reserve(Codeforces Round #514 (Div. 2)-1060E)(三分答案,数学)

前言

这种题没做过,但考试时想得差不多了…

题目

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题目大意
现在有n个点,坐标分别为$(x_i,y_i)$,现在求一个最小半径的圆,使得包含所有点且和$x$轴相切(只有一个交点),
若不存在,输出-1
答案精确到$10^{-6}$
$-10^7<=x_i,y_i<=10^7,y_i!=0$
$input$

1
0 1

$output$

0.5

$input$

3
0 1
0 2
0 -3

$output$

-1

$input$

2
0 1
1 1

$output$

0.625

思路

首先,我们知道，只要x轴两侧各有点,则输出-1.
我们记圆心为$(X,r)$由于和x轴相切,则半径为r，对于每一个点$(x_i,y_i)$

都有:
$(X-x_i{)}^2+(r-y_i{)}^2<=r^2$
我们只能从化简式子入手了:
$X^2-2x_{i}X+{x_i}^2+r^2-2r{y}_i+{y_i}^2<=r^2$
化简一下,把r移到左边:
$\frac{X^2-2x_{i}X+{x_i}^2+{y_i}^2}{2y_i}<=r$
也就是说,如果我们有确定的$X$，那么:
$r=max\{\frac{(X-x_i{)}^2+{y_i}^2}{2y_i}\}$,我们就有确定的$r$
我们又发现,对于答案所在的X，在它左右走$r$都会单调递增,形成形状像山谷的形状,那么直接三分$X$找谷底即可

代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
using namespace std;
LL read(){
    LL f=1,x=0;char s=getchar();   
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}  
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    return x*f;
}
#define eps 1e-8
#define MAXN 100000
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Mod int(1e9+7)
int n;
LL x[MAXN+5],y[MAXN+5];
double check(double X){
	double r=0;//半径计算
	for(int i=1;i<=n;i++)
		r=max(r,((X-x[i])*(X-x[i])+y[i]*y[i])/(2.0*y[i]));
	return r;
}
int main(){
	int f=0;
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x[i]=read(),y[i]=read();
		if(y[i]<0) y[i]=-y[i],f|=1;
		else f|=2;
	}
	if(f==3){
		puts("-1");
		return 0;
	}
	double L=-1e7-2,R=1e7+2;
	while(L+eps<R){//三分横坐标
		double Mid1=L+(R-L)/3,Mid2=R-(R-L)/3;
		double tmp1=check(Mid1),tmp2=check(Mid2);
		if(tmp1>tmp2) L=Mid1;//左边半径较大,L右移动
		else R=Mid2;
	}
	printf("%.10lf\n",check(L));
	return 0;
}