3D数学-正交投影

文章目录

  • 3D数学-正交投影
    • 概述
    • 正交投影的推导
    • 投影矩阵的另一种形式

3D数学-正交投影

好记性不如烂笔头啊,还是记录一下!


概述

正交投影也被称为平行投影,不会出现透视投影的近大远小的扭曲现象,


正交投影的推导

构建正交投影矩阵相对来说会简单一些,由于不存在透视扭曲。

< x e , y e , z e > <xe,ye,ze>是相机空间中的一个坐标点

< x n , y n , z n > <xn,yn,zn>表示经过透视投影后在规范化设备坐标系(Normalized Device Coordinates)中的坐标

l l l表示近裁剪平面(near clip plane)的左边,即 x = l x=l x=l

r r r表示近裁剪平面(near clip plane)的右边,即 x = r x=r x=r

t t t表示近裁剪平面(near clip plane)的上边,即 y = t y=t y=t

b b b表示近裁剪平面(near clip plane)的下边,即 y = b y=b y=b

avatar

如图所示, < x e , y e , z e > <xe,ye,ze>可以先行的映射到规范化设备坐标系(Normalized Device Coordinates)中的,因为我们实际只是将一个长方体缩成一个立方体,并把它移动到原点。下面我们就来使用线性映射关系(linear relationship)来推导正交投影矩阵

现在需要将 x e x_{e} xe映射到 x n x_{n} xn x e x_{e} xe得范围是 [ l , r ] [l, r] [l,r] x n x_{n} xn的范围是 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [1,1],还需要将 y e y_{e} ye映射到 y n y_{n} yn y e y_{e} ye得范围是 [ b , t ] [b, t] [b,t] y n y_{n} yn的范围是 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [1,1],还需要将 z e z_{e} ze映射到 z n z_{n} zn,由于齐次裁剪空间为左手坐标系,所以需要将z轴反置,因此 z e z_{e} ze的范围是 [ − n , − f ] [-n, -f] [n,f] y n y_{n} yn得范围是 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [1,1]可以利用简单线性插值的方法获得以下关系式:

{ x e − l r − l = x n − ( − 1 ) 1 − ( − 1 ) y e − b t − b = y n − ( − 1 ) 1 − ( − 1 ) z e − ( − n ) ( − f ) − ( − n ) = z n − ( − 1 ) 1 − ( − 1 ) \begin{cases} \frac{x_{e}-l}{r-l}=\frac{x_{n}-(-1)}{1-(-1)} \\[2ex] \frac{y_{e}-b}{t-b}=\frac{y_{n}-(-1)}{1-(-1)} \\[2ex] \frac{z_{e}-(-n)}{(-f)-(-n)}=\frac{z_{n}-(-1)}{1-(-1)} \end{cases} rlxel=1(1)xn(1)tbyeb=1(1)yn(1)(f)(n)ze(n)=1(1)zn(1)

解出可得:

{ x n = 2 r − l ⋅ x e − r + l r − l y n = 2 t − b ⋅ y e − t + b t − b z n = − 2 f − n ⋅ z e − f + n f − n \begin{cases} x_{n}=\frac{2}{r-l} \centerdot x_{e}-\frac{r+l}{r-l} \\[2ex] y_{n}=\frac{2}{t-b} \centerdot y_{e}-\frac{t+b}{t-b} \\[2ex] z_{n}=\frac{-2}{f-n} \centerdot z_{e}-\frac{f+n}{f-n} \end{cases} xn=rl2xerlr+lyn=tb2yetbt+bzn=fn2zefnf+n

将以上三个关系式写成矩阵形式,可得:

P n = M o r t h o ⋅ P e = [ 2 r − l 0 0 r + l r − l 0 2 t − b 0 t + b t − b 0 0 − 2 f − n − f + n f − n 0 0 0 1 ] ⋅ [ x e y e z e 1 ] P_{n} = M_{ortho} \cdot P_{e} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & \frac{r+l}{r-l} \\[2ex] 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & \frac{t+b}{t-b} \\[2ex] 0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{e} \\[2ex] y_{e} \\[2ex] z_{e} \\[2ex] 1 \end{bmatrix} Pn=MorthoPe=rl20000tb20000fn20rlr+ltbt+bfnf+n1xeyeze1

M o r t h o M_{ortho} Mortho就是正交投影矩阵


投影矩阵的另一种形式

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根据Size(竖直方向上高度的一半)Aspect(投影平面的宽高比)可得出以下关系:

A s p e c t = r t t = S i z e b = − t r = t × A s p e c t l = − r Aspect = \frac{r}{t} \\[2ex] t = Size \\[2ex] b = -t \\[2ex] r = t \times Aspect \\[2ex] l = -r Aspect=trt=Sizeb=tr=t×Aspectl=r

所以 M o r t h o M_{ortho} Mortho还可以写成:

M o r t h o = [ 1 A s p e c t ⋅ S i z e 0 0 0 0 1 S i z e 0 0 0 0 − 2 f − n − f + n f − n 0 0 0 1 ] M_{ortho}= \begin{bmatrix} \frac{1}{Aspect \centerdot Size} & 0 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & \frac{1}{Size} & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Mortho=AspectSize10000Size10000fn2000fnf+n1

本节教程就到此结束,希望大家继续阅读我之后的教程。

谢谢大家,再见!


饮水思源

参考文献:

《3D游戏与图形学中的数学方法》

《OpenGL投影矩阵(Projection Matrix)构造方法》


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