3D数学-正交投影
文章目录
- 3D数学-正交投影
- 概述
- 正交投影的推导
- 投影矩阵的另一种形式
3D数学-正交投影
好记性不如烂笔头啊，还是记录一下!
概述
正交投影也被称为平行投影，不会出现透视投影的近大远小的扭曲现象，
正交投影的推导
构建正交投影矩阵相对来说会简单一些，由于不存在透视扭曲。
< x e , y e , z e >
< x n , y n , z n > 规范化设备坐标系（Normalized Device Coordinates）中的坐标
l l l表示近裁剪平面（near clip plane）的左边，即 x = l x=l x=l
r r r表示近裁剪平面（near clip plane）的右边，即 x = r x=r x=r
t t t表示近裁剪平面（near clip plane）的上边，即 y = t y=t y=t
b b b表示近裁剪平面（near clip plane）的下边，即 y = b y=b y=b
如图所示， < x e , y e , z e > 规范化设备坐标系（Normalized Device Coordinates）中的，因为我们实际只是将一个长方体缩成一个立方体，并把它移动到原点。下面我们就来使用线性映射关系（linear relationship）来推导正交投影矩阵
现在需要将 x e x_{e} xe映射到 x n x_{n} xn， x e x_{e} xe得范围是 [ l , r ] [l, r] [l,r]， x n x_{n} xn的范围是 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1]，还需要将 y e y_{e} ye映射到 y n y_{n} yn， y e y_{e} ye得范围是 [ b , t ] [b, t] [b,t]， y n y_{n} yn的范围是 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1]，还需要将 z e z_{e} ze映射到 z n z_{n} zn，由于齐次裁剪空间为左手坐标系，所以需要将z轴反置，因此 z e z_{e} ze的范围是 [ − n , − f ] [-n, -f] [−n,−f]， y n y_{n} yn得范围是 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1]可以利用简单线性插值的方法获得以下关系式：
{ x e − l r − l = x n − ( − 1 ) 1 − ( − 1 ) y e − b t − b = y n − ( − 1 ) 1 − ( − 1 ) z e − ( − n ) ( − f ) − ( − n ) = z n − ( − 1 ) 1 − ( − 1 ) \begin{cases} \frac{x_{e}-l}{r-l}=\frac{x_{n}-(-1)}{1-(-1)} \\[2ex] \frac{y_{e}-b}{t-b}=\frac{y_{n}-(-1)}{1-(-1)} \\[2ex] \frac{z_{e}-(-n)}{(-f)-(-n)}=\frac{z_{n}-(-1)}{1-(-1)} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧r−lxe−l=1−(−1)xn−(−1)t−bye−b=1−(−1)yn−(−1)(−f)−(−n)ze−(−n)=1−(−1)zn−(−1)
解出可得：
{ x n = 2 r − l ⋅ x e − r + l r − l y n = 2 t − b ⋅ y e − t + b t − b z n = − 2 f − n ⋅ z e − f + n f − n \begin{cases} x_{n}=\frac{2}{r-l} \centerdot x_{e}-\frac{r+l}{r-l} \\[2ex] y_{n}=\frac{2}{t-b} \centerdot y_{e}-\frac{t+b}{t-b} \\[2ex] z_{n}=\frac{-2}{f-n} \centerdot z_{e}-\frac{f+n}{f-n} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧xn=r−l2⋅xe−r−lr+lyn=t−b2⋅ye−t−bt+bzn=f−n−2⋅ze−f−nf+n
将以上三个关系式写成矩阵形式，可得：
P n = M o r t h o ⋅ P e = [ 2 r − l 0 0 r + l r − l 0 2 t − b 0 t + b t − b 0 0 − 2 f − n − f + n f − n 0 0 0 1 ] ⋅ [ x e y e z e 1 ] P_{n} = M_{ortho} \cdot P_{e} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & \frac{r+l}{r-l} \\[2ex] 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & \frac{t+b}{t-b} \\[2ex] 0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{e} \\[2ex] y_{e} \\[2ex] z_{e} \\[2ex] 1 \end{bmatrix} Pn=Mortho⋅Pe=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡r−l20000t−b20000f−n−20r−lr+lt−bt+b−f−nf+n1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⋅⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡xeyeze1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
M o r t h o M_{ortho} Mortho就是正交投影矩阵
投影矩阵的另一种形式
根据Size（竖直方向上高度的一半）和Aspect（投影平面的宽高比）可得出以下关系：
A s p e c t = r t t = S i z e b = − t r = t × A s p e c t l = − r Aspect = \frac{r}{t} \\[2ex] t = Size \\[2ex] b = -t \\[2ex] r = t \times Aspect \\[2ex] l = -r Aspect=trt=Sizeb=−tr=t×Aspectl=−r
所以 M o r t h o M_{ortho} Mortho还可以写成：
M o r t h o = [ 1 A s p e c t ⋅ S i z e 0 0 0 0 1 S i z e 0 0 0 0 − 2 f − n − f + n f − n 0 0 0 1 ] M_{ortho}= \begin{bmatrix} \frac{1}{Aspect \centerdot Size} & 0 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & \frac{1}{Size} & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Mortho=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡Aspect⋅Size10000Size10000f−n−2000−f−nf+n1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
本节教程就到此结束,希望大家继续阅读我之后的教程。
谢谢大家,再见!
饮水思源
参考文献：
《3D游戏与图形学中的数学方法》
《OpenGL投影矩阵(Projection Matrix)构造方法》
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