数据结构--并查集

并查集

并查集是一种树型数据结构，用于解决不相交集合的合并和查询问题。
具体的例子：假设 “朋友” 这个关系满足如下性质：

• 如果 a 和 b 是朋友，那么b 和 a 是朋友。
• 如果 a 和 b 是朋友，b 和 c 是朋友，那么a 和 c 是朋友。
• 一个人和他的所有朋友称为一个 “集体”。

现在给出m对朋友关系 (u, v) 表示u 和 v 是朋友，问：

• 问题1：给定两个人a 和 b 求他们是否是朋友。
• 问题2：一共有多少个 “集体”。

可以看出来这个问题需要维护一种传递关系，那么我们可不可以用Floyed算法求他的传递闭包呢？理论上来说Floyed算法可以解决，用link[i][j]表示结点间的连通关系，则执行完Floyed以后，link[i][j] = 1，则 i 和 j 是朋友，反之不是。但是，Floyed回答问题2 就比较麻烦了，而且更重要的一点，Floyed有很多算法无可匹敌的时间复杂度 O(n^3)，因此Floyed算法解决此问题是很低效的。更更更重要的一点，Floyed只能离线，这个懂的自然懂，不懂也没关系，知道不能用Floyed解决这个问题就可以了。

并查集的基本思想

1. 并查集维护集合关系，初始时，为每一个元素建立一个集合，这个集合只有这个元素自己。
2. 我们需要随时根据给出的，某两个元素之间的关系，将两个元素所在的集合合并（a 和 b是朋友，那么a的朋友也是b的朋友，b的朋友也是a的朋友，相当于两个集合合并了）
3. 能随时查询两个元素当前是否在一个集合里。

并查集的操作

并查集是树形数据结构，我们将每一个集合视为一棵树。
既然是树，必然有一个根节点，这个根节点，我们定义为这个集合的代表，此后我们都用集合的代表来代替一个集合。
也就是说：同一个代表，同一个集合
我们定义 father[] 数组，father[i] 表示 i 结点的父节点。
初始时所有元素的父节点都是自己，代表也是自己，因为此时一个集合只有一个元素，就是他自己。

这时我们可以对集合进行合并操作了，假设现在合并结点1 和 结点2所在的集合，两个集合变成一个，两个集合的代表也就只能留下一个，留下哪个呢？------无所谓。
假设我们把2 并入 1 就直接把father[2] = 1，这样1 和 2，就在一起了。

2 的父节点是 1 ，{1，2} 这个集合的代表是 1 ，它是根节点。
然后，我们把2 和 3 所在的集合合并，按照前面的说法，直接令father[2] = 3或者 father[3] = 2 吗？
那就错了。
如果直接令father[2] = 3，相当于把 1 号结点扔到一边了，此后2 和 3 的集合里就没有1 结点了。father[3] = 2 虽然看上去没问题，但其实和前面是一样的问题，如果 3 结点有父节点，也相当于都被忽略了。

前面说过了，代表集合的树的根节点叫这个集合的代表，所有操作都是针对这个代表的。也就是说，合并两个集合，首先要找到两个集合的代表，然后将其中一个接到另一个上面。怎么找代表呢？一层一层找，知道某个结点的父节点是它自己，这个结点就是根节点，也就是代表。
也就是说，我们想合并2 和 3 所在结点，需要找到两个代表，分别是1 和 3，令father[1] = 3 或 father[3] = 1 都可以。
(图片)
合并操作结束了，怎么判断两个元素是否在一个集合里呢？刚才说了，同一个集合，同一个代表，两个元素同处于一个集合则两个元素的代表一定相同。
最后要求一共有多少集合，一个集合是一棵树，有多少个根节点就有多少棵树，也就是说，检查所有 father[]，有多少元素根节点等于自己，就有多少集合。
代码：

int find(int x)       //找到x所在集合的代表（根节点）
{
	if(father[x]!=x)
	    return find(father[x]);
	else
	    return x;
}
void combine(int x, int y)    //合并x 和 y 所在集合
{
	int r1 = find(x);       //一定先找到两个元素的代表
	int r2 = find(y);
	if(r1!=r2)
	    father[r2] = r1;     // 把一个代表接到另一个上
}
int query(int x, int y)      //查询x 和 y 是否在一个集合里
{
    return (find(x)==find(y)) ? 1 : 0;
}
//别忘了最开始初始化father[i] = i

并查集的路径压缩

并查集有一个和二叉树一样的问题，他的时间复杂度很容易退化。比如要查找的一条链老长，查找的复杂度会变成 O(n)。

如何避免这样呢？并查集有一个路径压缩的操作，即每次查找一个元素的代表时，将查找路径上的所有结点转接到代表上，具体见代码：

int find(int x)
{
	if(father[x]!=x)
	    father[x] = find(father[x]);     //把x直接接在x所在集合的代表上
	return father[x];
}

这样执行完find(5) 后，整个图的状态是这样的，它保证了并查集的始终高效。

并查集例题

并查集模板：洛谷P3367 【模板】并查集.
并查集+映射：洛谷P2814 家谱.
扩展域并查集：洛谷P1892 [BOI2003]团伙.（题目描述有一点小问题）