素数与素数筛
文章目录
- 素数的定义
- 素数的判断
- 从2到 x \sqrt x x的证明：
- 素数筛法：
- 1.Eratosthenes 筛法
- 线性筛法
素数的定义
啊，耳熟能详。素数又称质数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。啊！1不是素数啊
素数的判断
啊，也耳熟能详了，暴力枚举一下除1和本身的自然数是否会被整除。
bool is_prime(int x) {
for(int i=2;i啊，其实可以优化的，也耳熟能详（我真欠揍），我们只用从2到 x \sqrt x x就可以了。
从2到 x \sqrt x x的证明：
很容易发现这样一个事实：如果a是x的约数，那么 x a \frac{x}{a} ax也是x的约数。
得证。
代码：
bool is_prime(int x) {
for(int i=2;i<=sqrt(x);i++)
if(x%i==0) return 0;
return 1;
}
啊，其实还有更简单的判断方法：Miller-Rabin。耳熟能详个屁，自行学习吧。
素数筛法：
1.Eratosthenes 筛法
这Eratosthenes一长串不是人读的是一个人的名字：埃拉托斯特尼。啊，耳熟能详。Eratosthenes 筛法的原理非常简单：一个素数的倍数一定不是素数。
代码：
void Eratosthenes(int n) {
for(int i=2;i<=n;i++) {
if(check[i]) continue;
prime[++cnt]=i;
for(int j=2;j<=n/2;j++)
check[i*j]=1;
}
return ;
}
过程如下：
| 正在处理的数 | 数组check的情况 |
|---|---|
| 2 | 2，3， |
| 3 | 2，3， |
| 5 | 2，3， |
| 7 | 2，3， |
| 11 | 2，3， |
可以发现，2和3都会把6标记为合数。实际上，小于x2的x的倍数在之前就会被标记，所以我们可以优化为：
void Eratosthenes(int n) {
for(int i=2;i<=n;i++) {
if(check[i]) continue;
prime[++cnt]=i;
for(int j=i;j<=n/i;j++)
check[i*j]=1;
}
return ;
}
时间复杂度为 O ( n l o g l o g n ) O(n \ log \ log \ n) O(n log log n),显而易见。
线性筛法
埃式筛法也会重复标记，一个数的素数约数越多，重复标记越多。
线性筛法通过“从大到小累计质因子”的方式标记合数。
代码：
void yu(int n) {
check[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++) {
if(!check[i]) prime[++cnt]=i;
for(int j=1;j<=cnt && i*prime[j]<=n;j++) {
check[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
break;
}
}
return ;
}
啊，简单。