哈夫曼树

定义

从树中一个节点到另一个节点之间的分支构成两个节点之间的路径

路径上的分支数目称为路径长度。如图所示，根节点到节点D的路径长度为4。

树的路径长度就是从树根到每一个节点的路径长度之和
$$\begin{array}{rl}a树的路径长度& =1+1+2+2+3+3+4+4\\ & =20\end{array}$$
设二叉树具有n个带权值的叶子节点，那么从根节点到各个叶子节点的路径长度l与相应节点权值的w乘积的和，叫做二叉树的带权路径长度
$$WPL=\sum _{i=1}^n{w}_i{l}_i$$
其中，将具有最小带权路径长度的二叉树称为哈夫曼树，也称最优树
$$\begin{array}{rl}a的WPL& =5\times 1+15\times 2+40\times 3+30\times 4+10\times 4\\ & =315\end{array}$$

构造哈夫曼树

• 权值越大的叶子节点越要靠近根节点
• 权值越小的叶子节点越要远离根节点

序列{A5,B15,C40,D30,E10}，字母后的数字为权重

1. 以权值递增顺序重新排列
   A5，E10，B15，D30，C40

2. 取序列中前两个权值最小的节点作为新节点N1的两个孩子节点，权值小的是左孩子，权值大的是右孩子
   

3. 新节点N1的权值是两个孩子节点的权值之和，即5+10=15。用(N1)15替换A5和E10，插入到有序序列中，保持从小到大排列
   (N1)15，B15，D30，C40

4. 取前两个权值最小的节点(N1)15，B15
   
   用(N2)30替换(N1)15和B15，插入到有序序列中
   (N2)30，D30，C40

5. 取前两个权值最小的节点(N2)30，D30
   

用(N3)60替换(N2)30和D30，插入到有序序列中，注意保持从小到大的排列
C40，(N3)60

6. 取前两个权值最小的节点C40，(N3)60
   
   替换完成后序列只有N4一个节点，哈夫曼树构造完成
   
   $$\begin{array}{rl}此时的WPL& =40\times 1+30\times 2+15\times 3+10\times 4+5\times 4\\ & =205\end{array}$$

哈夫曼树的特点

哈夫曼树没有单分支节点，即度为1的节点n1的数目等于0

所以
$$\begin{gathered} n=n_0+n_1+n_2 \\ =n_0+n_2 \\ =2n_0-1 \end{gathered}$$

哈夫曼编码

现有序列 DBACADFEED
采用二进制来传输信息

A	000
B	001
C	010
D	011
E	100
F	101

011001000010000011101100100011

采用哈夫曼编码的方法，先分析字符在字符串中的权重

	占比	放大100倍的权值
A	0.20	20
B	0.10	10
C	0.10	10
D	0.30	30
E	0.20	20
F	0.10	10

构造哈夫曼树

规定哈夫曼树中的左分支为0，右分支为1

从根节点到每个叶子节点所经过的分支对应的0和1组成的序列便为该节点对应字符的编码。这样的编码称为哈夫曼编码。

A	00
B	1010
C	1011
D	11
E	01
F	100

得到哈夫曼编码
1110100010110011100010111
比原来少了5个字符。

前缀编码

在一组字符的哈夫曼编码中，不可能出现一个字符的哈夫曼编码是另一个字符哈夫曼编码的前缀。上面的表格就不存在容易与1010混淆的101

• 没有两个字符的编码相同
• 没有两个字符编码的前缀相同

例1

5个字符有如下4种编码方法，其中不是前缀编码的是

A. 01，0000，0001，001，1
B. 011，000，001，010，1
C. 000，001，010，011，100
D. 0，100，110，1110，1100

D选项中110和1100前缀重复，不是前缀编码

例2

对n( n ≥ 2 )个权值均不同的字符构成哈夫曼树，关于该树的叙述中，错误的是

A. 该树一定是一棵完全二叉树
B. 该树中一定没有度为1的节点
C. 树中两个权值最小的节点一定是兄弟节点
D. 树中任一非叶子节点的权值一定不小于下一层任一节点的权值

选A

例3

如果一棵哈夫曼树T中共有255个节点，那么该树用于对几个字符进行哈夫曼编码

解：
没有度为1的节点
n = 2n0 - 1推出n0 = 128
按照哈夫曼树的定义，叶子节点即为字符，所以该树用于对128个字符进行哈夫曼编码