三个水桶等分8升水的问题

问题描述：

有三个容积分别为8升、5升、3升的水桶，其中容积为8升的水桶盛满了水，容积为5升和3升的水桶都是空的。三个水桶都没有刻度，现在需要将水桶中的8升水等分成2份，每份都是4升水。条件是只能使用这三个水桶，不能借助其他工具。

问题分析：

对于这个问题，似乎没有“规律”可循，没有专门的算法来求解，因此只能尝试使用“穷举法”来求解。

把每个状态下三个水桶中的水的体积作为status，例如status = array(8,0,0)，想要得到的status = array(4,4,0)。

这样，就把问题转化为“寻径”问题了。只需要找到status = array(8,0,0)转化到status = array(4,4,0)的“路径”即可。

对于status有如下限制：
0 <= status[0] <= 8;
0 <= status[1] <= 5;
0 <= status[2] <= 3;

在搜寻sub_status的过程中，要注意sub_status不能和current_status和其祖先相等，要不然程序会进入“环路”。一般的，current_status可以得到好几个sub_status， 如果sub_status和current_status和其祖先的其中一个相等，则忽略这个sub_status。

一共有三个水桶，则可能的“倒水”动作共有6种(3中取2的全排列)，但是在不同的status下，这6种倒水动作中有一些是不可用：①从某一个桶中倒水，但是这个桶是空的，②向某一个桶中倒水，但是这个桶已经满了。

程序设计：

按照上面的分析，可以构造一个status类：
status 类有四个protected 字段：
_values 值， 例如array(8,0,0)
_limit 限制, 这里是array(8,5,3)
_children 用来保存本对象的所有sub_status的values
_ancestors 用来保存对象本身的values和祖先的values

程序的大体思路是实例化第一个status——array(8,0,0)，在构造函数中搜索sub_status、筛选sub_status，然后实例化所有的sub_status，如果sub_status等于array(4,4,0)则停止实例化，并将_ancestors输出，这样就可以将所有的“路径”找出。

程序示例(php)：

面向对象风格

 1 php
 2 //path: document-root/obj/Status.php
 3 
 4 class Status
 5 {
 6     protected $_values;
 7     protected $_limit;
 8     protected $_children;
 9     protected $_ancestors;
10 
11     public function __construct(array $values, array $limit, array $ancestors)
12     {
13         $this->_values = $values;
14         $this->_limit = $limit;
15         $ancestors[] = $this->_values;
16         $this->_ancestors = $ancestors;
17 
18         $this->generateChildren();
19     }
20 
21     protected function generateChildren()
22     {
23         $children = array();
24 
25         for($i=0;$i<count($this->_values);$i++){
26             for($o=$i+1;$o<count($this->_values);$o++){
27                 $child = $this->turnStatus($i, $o);
28                 if($child === array(4,4,0)){
29                     $this->showResult($child);
30                 }
31                 if($child !== false && !$this->isAncestor($child) && $child !== array(4,4,0)){
32                     $children[] = new Status($child, $this->_limit, $this->_ancestors);
33                 }
34 
35                 $child = $this->turnStatus($o, $i);
36                 if($child === array(4,4,0)){
37                     $this->showResult($child);
38                 }
39                 if($child !== false && !$this->isAncestor($child) && $child !== array(4,4,0)){
40                     $children[] = new Status($child, $this->_limit, $this->_ancestors);
41                 }
42             }
43         }
44         $this->_children = $children;
45     }
46 
47     protected function isAncestor($value)
48     {
49         foreach ($this->_ancestors as $ancestor) {
50             if($value === $ancestor){
51                 return true;
52             }
53         }
54         return false;
55     }
56 
57     protected function turnStatus($i, $o)
58     {
59         $value = $this->_values;
60         if($this->_values[$o] == 0){
61             return false;
62         }
63 
64         if($this->_values[$i] == $this->_limit[$i]){
65             return false;
66         }
67         if(($this->_limit[$i] - $this->_values[$i]) <= $this->_values[$o]){
68             $m = $this->_limit[$i] - $this->_values[$i];
69         }else{
70             $m = $this->_values[$o];
71         }
72 
73         $value[$o] -= $m;
74         $value[$i] += $m;
75         return $value;
76     }
77 
78     protected function showResult(array $child)
79     {
80         $path = $this->_ancestors;
81         $path[] = $child;
82         //print_r($path);
83         Register::append('final_status', $path);
84         //echo "
";
85     }
86 }

 1 php
 2 //path: document-root/main.php
 3 
 4 require_once("obj/Status.php");
 5 require_once("Register.php");
 6 echo '
';
 7 
 8 $status = new Status(array(8, 0, 0), array(8, 5, 3), array());
 9 
10 
11 //var_dump($status);
12 
13 $paths = Register::registry('final_status');
14 printf("共找出 %d 种不同的方式", count($paths));
15 
16 $stepNum = 0;
17 foreach ($paths as $key => $path) {
18     if($key == 0){
19         $stepNum = count($path);
20     }
21     $_stepNum = count($path);
22     if($_stepNum < $stepNum){
23         $stepNum = $_stepNum;
24         $_key = $key;
25     }
26 }
27 printf(" 其中，第 %d 种方式所用步数最少，为 %d 步", $_key, $stepNum-1);
28 print_r($paths);
 
   

 1 php
 2 //path: document-root/Register.php
 3 
 4 class Register
 5 {
 6     static protected $_data = array();
 7 
 8 
 9     public function __construct()
10     {
11     }
12 
13     static public function register($key, $value)
14     {
15         self::$_data[$key] = $value;
16     }
17 
18     static public function append($key, $value)
19     {
20         self::$_data[$key][] = $value;
21     }
22 
23     static public function registry($key)
24     {
25         if(isset(self::$_data[$key])){
26             return self::$_data[$key];
27         }
28         return null;
29     }
30 }

 将上面贴出来的程序按目录放在网站根目录下，访问 main.php 即可得到问题解答。

 

过程化风格：

 1 php
 2 //file: document-root/index.php
 3 echo '
';
 4 
 5 $limit = array(8,5,3);
 6 $current = array(
 7     'value' => array(8,0,0),
 8     'ancestors' => array(
 9     )
10 );
11 $records = array();
12 $tree = getChildren($current, $limit, $records);
13 print_r($records);
14 
15 
16 /**
17  * @param $current array('value', 'children', 'ancestors')
18  * @param array $limit
19  * @param array $records
20  * @return array
21  */
22 function getChildren($current, array $limit, array &$records)
23 {
24     $children = array();
25     $pValue = $current['value'];
26 
27     for($i=0;$i<count($pValue);$i++){
28         for($o=$i+1;$o<count($pValue);$o++){
29 
30             $child = turn($i, $o, $pValue, $limit);
31             if($child !== false && !isAncestor($current, $child)){
32                 $children[] = $child;
33             }
34 
35             $child = turn($o, $i, $pValue, $limit);
36             if($child !== false && !isAncestor($current, $child)){
37                 $children[] = $child;
38             }
39         }
40     }
41 
42     foreach ($children as $key => $child) {
43         $current['children'][$key]['value'] = $child;
44 
45         $ancestors = $current['ancestors'];
46         $ancestors[] = $pValue;
47         $current['children'][$key]['ancestors'] = $ancestors;
48 
49         if($child !== array(4,4,0)){
50             $current['children'][$key]['children'] = getChildren($current['children'][$key], $limit, $records);
51         }else{
52             $_records = $ancestors;
53             $_records[] = $child;
54             $records[] = $_records;
55         }
56     }
57     return $current;
58 }
59 
60 /**
61  * @param $i
62  * @param $o
63  * @param $value array
64  * @param $limit
65  * @return bool|array
66  */
67 function turn($i, $o, $value, $limit)
68 {
69     if($value[$o] == 0){
70         return false;
71     }
72 
73     if($value[$i] == $limit[$i]){
74         return false;
75     }
76     if(($limit[$i] - $value[$i]) <= $value[$o]){
77         $m = $limit[$i] - $value[$i];
78     }else{
79         $m = $value[$o];
80     }
81 
82     $value[$o] -= $m;
83     $value[$i] += $m;
84     return $value;
85 }
86 
87 function isAncestor(array $current, array $child)
88 {
89     $ancestors = $current['ancestors'];
90     if(in_array($child, $ancestors)){
91         return true;
92     }
93     return false;
94 }
 
   

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