对斜率优化的一点理解(围绕图讲解)

P3195 [HNOI2008]玩具装箱

这道题作为斜率优化入门真是再好不过了,我也不例外

$普通的转移方程$

$$dp[i]=dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-l{)}^2$$

$这是n^2的算法,考虑如何O(1)找到前面最优的j转移$

$Ⅰ.化简dp方程$

$令A=sumn[i]+i,因为现在是在转移i,所以A是个定值$

$令B=sumn[j]+j+l+1,因为j不固定,所以B是个变化的量$

$那么代入得$

$$dp[i]=dp[j]+(A-B{)}^2$$

化简得到

$$dp[i]=dp[j]+A^2+B^2-2AB$$

移项得到

$$dp[j]+B^2=2AB+dp[i]-A^2$$

$如果把y看成dp[j]+B^2,把x看成B$

$那么这条直线得斜率已经确定,是2A,是定值$

$现在的目标是去前面找一个j点,来确定x和y让截距最小$

$为啥?截距是dp[i]-A^2,A是定值,截距最小就是dp[i]最小$

$Ⅱ.怎么找前面最优的j$

$我们知道前面每个j对应一个点(B_j,dp[j]+B_j^2)$

$所以只有下凸包上的点才有可能作为最优的j来转移,至于为什么$

$比如这么多点,只需要维护下凸包ACD即可,为什么不需要B?$

$当2A大于CA的斜率时,选C点的截距明显小于选B的截距$

$当2A小于CA的斜率时,选A点的截距明显小于选B的截距$

$所以不在下凸包的点完全无用,直接丢掉就好了(怎么丢,下面讲)$

$那下凸包上哪个j最优?$

$显然,当下凸包相邻两点的斜率小于2A时,越右边的j形成的截距越小$

$但是当斜率大于2A时,形成的截距反而大(红线是斜率2A)$

$如上图,BC是刚好大于2A的直线,所以B点截距最小,最优$

所以具体做法是开个单调队列维护下凸包上的点

一直弹出队首元素直到斜率大于2A,那就是最优的j

$但是同时我们要维护单调队列中只存在下凸包上的点,这该怎么办?$

$怎样把不在下凸包上的点排除?$

$就是根据斜率来判断,下凸包就是相邻两点的斜率递增$

$那么就在单调队列找最近的两个在队列的点(也就是从队尾找)$

$如果斜率不满足递增,就一直弹出$

$然后把当前的i放入队尾即可$

$附上代码$

#include 
using  namespace std;
const int maxn=5e5+10;
int n,l;
int head,tail,q[maxn];
double sumn[maxn],dp[maxn];
double a(int i){
	return i+sumn[i];
}
double b(int i){
	return sumn[i]+i+l+1;
}
double x(int i){
	return b(i);
}
double y(int i){
	return dp[i]+b(i)*b(i);
}
double xie(int i,int j){
	return (y(i)-y(j) )/( x(i)-x(j) );
}
int main()
{
	cin >> n >> l;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin >> sumn[i];
		sumn[i]+=sumn[i-1];
	}
	head=tail=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while( head