三分算法 — 解决凸凹函数的最值

转载：https://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/9666627

概念：

在二分查找的基础上，在右区间（或左区间）再进行一次二分，这样的查找算法称为三分查找，也就是三分法。

二分查找所面向的搜索序列的要求是：具有单调性（不一定严格单调）；没有单调性的序列不是使用二分查找。

与二分查找不同的是，三分法所面向的搜索序列的要求是：序列为一个凸凹性函数。通俗来讲，就是该序列必须有一个最大（或最小值）。

我们都知道 二分查找 适用于单调函数中逼近求解某点的值。如果遇到凸性或凹形函数时，可以用三分查找求那

个凸点或凹点的近似值。如下图，表示一个有最大值的凸性函数：

如图所示，已知左右端点L、R，要求找到白点的位置。

思路：通过不断缩小 [L,R] 的范围，无限逼近白点。

做法：先取 [L,R] 的中点 mid，再取 [mid,R] 的中点 mmid，通过比较 f(mid) 与 f(mmid) 的大小来缩小范围。

           当最后 L=R-1 时，再比较下这两个点的值，我们就找到了答案。

1、当 f(mid) > f(mmid) 的时候，我们可以断定 mmid 一定在白点的右边。

反证法：假设 mmid 在白点的左边，则 mid 也一定在白点的左边，又由 f(mid) > f(mmid) 可推出 mmid < mid，与已知矛盾，故假设不成立。

所以，此时可以将 R = mmid 来缩小范围。

2、当 f(mid) < f(mmid) 的时候，我们可以断定 mid 一定在白点的左边。

反证法：假设 mid 在白点的右边，则 mmid 也一定在白点的右边，又由 f(mid) < f(mmid) 可推出 mid > mmid，与已知矛盾，故假设不成立。

同理，此时可以将 L = mid 来缩小范围。

 

凸函数最值：

double three_divi(double l,double r)
{
    double mid,mmid;
    while(r-l>=eps)
    {
        mid = (l+r)/2;
        mmid = (mid+r)/2;
        if(cal(mid)>cal(mmid))   //比较函数值
            r = mmid;
        else
            l = mid;
    }
    return cal(l) > cal(r) ? l : r;
}

凹函数最值：

double three_divi(double l,double r)
{
    double mid,mmid;
    while(r-l>=eps)
    {
        mid = (l+r)/2;
        mmid = (mid+r)/2;
        if(cal(mid) cal(r) ? l : r;
}

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/200/E
来源：牛客网

不难推出公式：（据说根据扔东西常识这是凸函数）

AC代码：

#include
#include
#include
#define pi acos(-1.0)
#define g 9.80665
using namespace std;
const double eps = 1e-8;
double h,v;
inline double cal(double x)
{
    return v*v*sin(2*x)/(2*g)+v*cos(x)*sqrt(v*v*sin(x)*sin(x)+2*g*h)/g;
}
double three_divi(double l,double r)
{
    double mid,mmid;
    while(r-l>=eps)
    {
        mid = (l+r)/2;
        mmid = (mid+r)/2;
        if(cal(mid)>cal(mmid))
            r = mmid;
        else
            l = mid;
    }
    return cal(l) > cal(r) ? l : r;
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>h>>v;
        double x = three_divi(0.0,pi/2.0); //角度取值0~pi/2
        printf("%.5f\n",cal(x));
    }
    return 0;
}