力扣（LeetCode）322. 零钱兑换（动态规划）（类似完全背包问题）

本题是来自力扣（LeetCode）一道中等难度的问题。用动态规划求解非常巧妙，同样背包问题也是笔试中的高频问题，本人现在还在研究之中，先把这道题搞懂分享给大家，希望大家共同进步。

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/

题目：

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

示例 1:

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3 
解释: 11 = 5 + 5 + 1

示例 2:

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1

说明: 你可以认为每种硬币的数量是无限的。 

首先一看到题目说用尽量少的硬币，我的思想是用最大面值的硬币对总金额取余，然后再用第二面值的硬币对剩下的金额取余，直到总余额为0。这种方法如果总金额是所有硬币的一个公倍数那么是可行的，就像【1，2，5】可以除尽大部分数字。但后面的测试用例有【3，10】amount = 12，类似这种情况，那么我们首先用 amount 对 10 取余就肯定是不对的了。

转换思路，用动态规划这题怎么求解呢？

比如我们的 amount = 5，那我们就建立一个长度为 6 的一维数组，代表了从 0-5 的闭区间。每个索引用来存储能组成该数字的最少的硬币个数，比如组成数字 0 需要 0 个硬币，那么 dp[0] = 0。数组建立完毕后，先初始化 dp[0] 为 0，然后思考状态转移方程。我们可以想到对于 index = 5，求出组成数字 5 的最少硬币数，我们可以对硬币集和 【1，2，5】去算出 dp = min( dp[5 - 1] + 1, dp[5 - 2] + 1, dp[5 - 5] + 1 )，这样就有了状态转移方程：dp[i] = min(dp[i-coin]+1, dp[i])。这里需要好好思考一下为什么。

下面是代码：

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (amount + 1)
        dp[0] = 0
        
        for coin in coins:
            for i in range(coin, len(dp)):
                dp[i] = min(dp[i - coin]+1, dp[i])

        return dp[-1] if dp[-1] != float('inf') else -1

祝大家早日拿到 offer！