#1142 : 三分·三分求极值

#1142 : 三分·三分求极值

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描述

这一次我们就简单一点了，题目在此：

在直角坐标系中有一条抛物线y=ax^2+bx+c和一个点P(x,y)，求点P到抛物线的最短距离d。

提示：三分法

输入

第1行：5个整数a,b,c,x,y。前三个数构成抛物线的参数，后两个数x,y表示P点坐标。-200≤a,b,c,x,y≤200

输出

第1行：1个实数d，保留3位小数(四舍五入)

样例输入

2 8 2 -2 6

样例输出

2.437

方法：

二分法作为分治中最常见的方法，适用于单调函数，逼近求解某点的值。
但当函数是凸形函数时，二分法就无法适用，这时就需要用到三分法。
从三分法的名字中我们可以猜到，三分法是对于需要逼近的区间做三等分：

我们发现lm这个点比rm要低，那么我们要找的最小点一定在[left,rm]之间。如果最低点在[rm,right]之间，就会出现在rm左右都有比他低的点，这显然是不可能的。 同理，当rm比lm低时，最低点一定在[lm,right]的区间内。
利用这个性质，我们就可以在缩小区间的同时向目标点逼近，从而得到极值。

回到题目上，抛物线和点之间的距离可以简单的用直线公式计算：
即d = min{sqrt((X - x)^2+(aX^2+bX+c-y)^2)}
该公式展开后为4次，需要采用求导等方法来求极值。对于计算机编程来说是很麻烦的一件事。
进一步观察题目，我们可以发现根据带入的X值不同，d的长度恰好满足凸形函数。
而我们要求的最短距离d，正好就是这个凸形函数的极值。
那么三分法就正好可以用来解决这道题目。

代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

double a, b, c, x, y;

double d(double p) {
    return sqrt(pow((p-x), 2) + pow((a*p*p+b*p+c-y), 2));
}

int main() {
    double left = -200, right = 200;
    double lm, rm;

    scanf("%lf %lf %lf %lf %lf", &a, &b, &c, &x, &y);
    while((right-left) >= 0.001) {
        double tmp = (right - left)/3;
        lm = left + tmp;
        rm = right - tmp;
        if(d(lm) <= d(rm)) {
            right = rm;
        } else {
            left = lm;
        }
    }
    printf("%.3lf\n", d(lm));

    return 0;
}