Codeforces Round #641 (Div. 2) C

Codeforces Round #641 (Div. 2) C

数论
很有意思的一道题，有一说一
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C. Orac and LCM

• 题意：给你一个长为n的数串，它们之间两两取lcm得到一个新的数串，再取总gcd，求所得答案

• 思路：（我太菜了，我觉得很难，但是的确很有意思，参考了一些大佬的解析，我决定自己写一个）

  • 基础补充：
    对于任意一个数，可以表示成为：$$x=p_1^{a_1}\ast p_2^{a_2}\ast ...\ast p_n^{a_n};$$$$y=p_1^{b_1}\ast p_2^{b_2}\ast ...\ast p_n^{b_n};$$
    而对于gcd，lcm：$$lcm(x,y)=p_1^{max(a_1,b_1)}\ast p_2^{max(a_2,b_2)}\ast ...\ast p_n^{max(a_n,b_n)}$$$$gcd(x,y)=p_1^{min(a_1,b_1)}\ast p_2^{min(a_2,b_2)}\ast ...\ast p_n^{max(a_n,b_n)}$$
    究其本质后，就好做了。

• 解题：那么，开始求lcm的时候，就是两两之间求幂次的最大，再求gcd的时候，就是所有数（lcm过后）中每个质数幂次的最小。（不理解的话其实可以随便举两个数，去套入上面的gcd、lcm公式去算一两遍就好多了）
  对于任意一个质因子：$$p_i$$化成单个来理解，它的幂次（lcm之前）分别为：$$a_i,b_i,c_i...（不排除0）$$在其中两两求取最大值，再在其中求最小值，就是该质数对答案的贡献了。
  现在就是要从原始数组里直接找到最后的最小值。

  那我们开始考虑，对于这个质因子（设为x）来说：

1. 如果原始数列所有数都包含了该质因子：
   那么对于这个因子，它在所有数上的幂次都大于0（因为都出现了），两两求取幂次的最大值后，再求其中的最小值，其中最小值即为：pri[ x ][ 1 ]
   则ans*=qpow( x , pri[x][1])

   pri意为质数x在所有数中出现的幂次，1为第二小的幂次

   为什么是第二小？

   在x出现的所有幂次中，两两取最大值后，其中的最小值即为原数组最小，和第二小的两数取max，取得的值为第二小的值。

2. 若该质因子仅被包含n-1次，那么有一个数会不包含因子x。相当于在这里幂数取了0。那么在两两取最大值后，其中的最小值即为原数组最小，和这个0的两数的max，取得的值为最小值
   则ans*=qpow( x ,pri[ x ][ 0 ])

3. 若小于n-1次，同理，至少会有两个数包含x的幂次是0，那么最小值是0，对答案无贡献，不考虑这个情况。

• 综上：
  对每个数进行质因分解，并且求的每个质数的幂次。
  对每个质数的幂次排序
  对于每个质数，数它在数列中出现的次数
  1. 若为n次，它对答案的贡献是：x的倒数第二大幂次次方
  2. 若为n-1次，它对答案的贡献是：x的最小幂次次方
  3. 否则，不考虑

DONE

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