置换群和循环节

题意：

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一个排列A（1，2，3.。。。n）经过一个置换p变换k次后得到一个排列B。

求A经过一次变换后的结果。

 

思路：

这个题需要知道置换群和循环节的一些概念。

什么是循环节。。比如

1  2 3 4  5     从上向下看

4 1 5 2 3

1->4->2->1 （1,4,2）为一个循环节，长度为3    3->5->3（3,5）为一个循环节，长度为2   

当置换的次数为循环节长度的时候，相当于没有变化。

设循环节的长度为r， 我们对每一个循环节单独进行变换。需要变换k次，最后需要得到变换一次后的结果。

让B置换z次，使得B^z = A,就是让B又变回来。那么此时就相当于A置换了z*k次。

z*k%r = 0。需要得到变换一次的结果，就是取一个z1，使得z1 * k % r =1；

对所有的循环节处理完，就可以得到答案了。

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#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
vector vec;
int n, k;
int a[100005], b[100005], vis[100005];
void calc()
{
	int r, i, inv;
	ll temp;
	r = vec.size();//循环节的长度
	for (i = 1; i < r; i++)
	{
		temp = (ll)i*(ll)k;
		if (temp % (ll)r == 1)inv = i;
		//因为k是大质数，所以可以对每一个循环节求inv
	}
	for (i = 0; i < r; i++)
	{
		b[vec[i]] = vec[(i + inv) % r];
	}
}
int main()
{
	int i, j;
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for (i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		int x = a[i];
		vec.clear();//清空vector
		while (!vis[x])//找出下一个循环节的所有数
		{
			vec.push_back(x);
			vis[x] = 1;
			x = a[x];
		}
		calc();//处理当前的循环节的所有数
	}
	for (i = 1; i <= n; i++)
		printf("%d ", b[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}