两个凸函数的最大值仍为凸函数

凸函数的定义：
一个凸集内的任意两个点x1与x2，任意 θ∈[0,1]⇒f(θ x1+(1−θ )x2)≤θ f(x1)+(1−θ )f(x2)一个凸集内的任意两个点 x_1 与 x_2，任意~ \theta\in[0, 1]\Rightarrow f(\theta~x_1+(1-\theta~)x_2)\leq \theta~f(x_1)+(1-\theta~)f(x_2)一个凸集内的任意两个点x1​与x2​，任意 θ∈[0,1]⇒f(θ x1​+(1−θ )x2​)≤θ f(x1​)+(1−θ )f(x2​)

或者微积分定义：
f(x1)≥f(x2)+(x1−x2)f′(x2)f(x_1)\geq f(x_2)+(x_1-x_2)f'(x_2) f(x1​)≥f(x2​)+(x1​−x2​)f′(x2​)

我之前一直忽略了一个重要性质：

$$若f(x)与g(x)都是凸函数，则h(x)=\max \{f(x),g(x)\}也是凸函数。$$

证明方法为分情况讨论。也可以按照下面的思路

证明：
f(θ x1+(1−θ )x2)≤θ f(x1)+(1−θ )f(x2)≤θ h(x1)+(1−θ )h(x2)\begin{aligned} f(\theta~x_1+(1-\theta~)x_2)\leq &\theta~f(x_1)+(1-\theta~)f(x_2)\\ \leq &\theta~h(x_1)+(1-\theta~)h(x_2) \end{aligned}f(θ x1​+(1−θ )x2​)≤≤​θ f(x1​)+(1−θ )f(x2​)θ h(x1​)+(1−θ )h(x2​)​

g(θ x1+(1−θ )x2)≤θ g(x1)+(1−θ )g(x2)≤θ h(x1)+(1−θ )h(x2)\begin{aligned} g(\theta~x_1+(1-\theta~)x_2)&\leq \theta~g(x_1)+(1-\theta~)g(x_2)\\ &\leq \theta~h(x_1)+(1-\theta~)h(x_2)\\ \end{aligned}g(θ x1​+(1−θ )x2​)​≤θ g(x1​)+(1−θ )g(x2​)≤θ h(x1​)+(1−θ )h(x2​)​

⇓h(θ x1+(1−θ )x2)=max⁡{f(θ x1+(1−θ )x2),g(θ x1+(1−θ )x2)}≤θ h(x1)+(1−θ )h(x2)      □ \begin{aligned} \Downarrow&\\ h(\theta~x_1+(1-\theta~)x_2)&=\max\big\{f(\theta~x_1+(1-\theta~)x_2), g(\theta~x_1+(1-\theta~)x_2)\big\}\\ &\leq \theta~h(x_1)+(1-\theta~)h(x_2) \qquad~~~~~~\Box \end{aligned} ⇓h(θ x1​+(1−θ )x2​)​=max{f(θ x1​+(1−θ )x2​),g(θ x1​+(1−θ )x2​)}≤θ h(x1​)+(1−θ )h(x2​)      □​

按照这个性质，那么 $\max \{f(x),0\}$ 也是凸函数。