【数据结构】树、二叉树总结（一）

知识结构

树的基本概念和定义

树的性质（重要）

1. 树中的节点树等于所有节点的度树加1

• 总度数等于根节点的所有子节点，当n=3，则度为2
• 总结点数等于度加1

2. 度为m的树第i层最多有 $m^{i-1}$ 个节点
把树每层看做等比数列, 每一层看作一项, 则第1到第i层分别为: $a_1,a_2\dots a_i$ ;度即为等比梳理的公比q=m, 首项为$a_1$=1(一棵树只有一个根节点);

$\because$ 等比通项公式: $a_n=a_1\ast q^{(n-1)}$

$\therefore$ 由上式得 $a_i=1\ast m^{(i-1)}\Rightarrow a_i=m^{(i-1)}$,

即第i层的节点数等于$m^{(i-i)}$

3. 高度为h的m叉树, 最多有 $\frac{m^h-1}{m-1}$ 个节点
仍把数的每层看作等比数列, 可得到: $a_1=1,q=m,n=h$

$\because S_n=\frac{a_1\ast (1-q^n)}{(1-q)}(q\ne 1)$

$\therefore S_i=\frac{1\ast (1-m^h)}{1-m}=\frac{-(m^h-1)}{-(m-1)}\Rightarrow \frac{m^h-1}{m-1}$

4. 具有n个节点的m叉树, 最小高度为 ${\log }_m(n(m-1)+1)$ 向上取整.

二叉树

特点：

• 至多由两个子节点
• 两个节点有左右之分
• 节点可以为空
  

满二叉树

• 除叶子节点外每个节点都有两个子节点
• 只有最后一次有叶子节点，h-1全是父节点
• 高度为h的满二叉树共有$2^h-1$个节点
• 第i层共有$2^{h-1}$个节点
• 满二叉树的节点为奇数个, 去掉根为偶数个

完全二叉树

• 有n(n>2)层的完全二叉树, 叶节点在n和n-1层
• 按照层序编号, 当$i\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$时, i为双亲(父)节点, 否则为叶子节点
• 完全二叉树的节点树可能为奇树或偶数, 为奇数时最后一个双亲节点无左孩子; 为偶数时有左孩子.(可看上图加以理解)
• $i\le n-1$时, 第i层共有$2^{h-1}$个节点

二叉树性质(重要)

1. 非空二叉树的叶子节点数等于度为2的节点数加1, 即 $n_0=n_2+1$
2. 非空二叉树第i层最多有$2^{i-1}$个节点, $(i\ge 1)$.
3. 高度为h的二叉树最多有$2^h-1$个节点(此时为满二叉树), $h\ge 1$.
4. 对二叉树进行层序编号

• 当i>1, 双亲编号为$\lfloor \frac{i}{2}\rfloor$, i为偶数无须向下取整
• 当$2i\le n$, 节点左孩子编号为2i, 否则无左孩子.
• 当$2i+1\le n$, 节点右孩子编号为2i+1, 否则无右孩子
• 节点i所在层次或深度为$\lfloor {\log }_{2}i\rfloor +1$

具有n个节点的完全二叉树的高度为$\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$ 或者$\lceil {\log }_2(n+1)\rceil$