深度和广度优先搜索：如何找出社交网络中的三度好友关系

------ 本文是学习算法的笔记，《数据结构与算法之美》，极客时间的课程 ------

上了节我们讲了图的表示方法，讲到如何用有向图、无向图来表示一个社交网络。在社交网络中，有一个六度分割理论，具体说，你与世界上另一个人间隔的关系不会超过六度，也就是说平均只需要六步就可以联系到任何两个互不相识的人。

一个用户的一度连接用户很好理解，就是他的好友，二度连接用户就是他好友的好友，硬度连接用户就是他好友的好友的好友。在社交网络中，我们往往通过用户之间的连接关系，来实现推荐“可能认识的人”这么一个功能。今天开篇的问题就是，给你一个用户，如何找出这个用户的所有硬度（其中包含一度、二度和三度）好友关系。

这就要用到今天讲的深度优先和广度优先搜索算法。

什么是“搜索”算法？

我们知道，算法是作用于具体数据结构之上的，深度优先搜索算法和广度优先搜索算法都是基于“图”这种数据结构的。这是因为，图这种数据结构的表达能力很强，大部分涉及搜索场景都可以抽象成“图”。

图上的搜索算法，最直接的理解就是，在图中找出从一个顶点出发，到另一个顶点的路径。具体方法有很多，比如今天要讲的两种最简单、最“暴力”的深度优先、广度优先搜索，还有A*、IDA*等启发式搜索算法。

我们上一节讲过，图有两种主要存储方法，邻接表和邻接矩阵。今天我会用邻接表来存储图。

需要说明一下，深度优先搜索算法和广度优先搜索算法，既可以用在无向图，也可以用在有向图上。在今天的讲解中，我都针对无向图来讲解。

    public class Graph{ // 无向图
    	private int v; // 顶点的个数
    	private LinkedList adj[]; // 邻接表
    	
    	public Graph(int v) {
    		this.v = v;
    		adj = new LinkedList[v];
    		for(int i = 0; i < v; ++i) {
    			adj[i] = new LinkedList<>();
    		}
    	}
    	public void addEdge(int s, int t) { // 无向图一条边存两次
    		adj[s].add(t);
    		adj[t].add(s);
    	}
    }

广度优先搜索（BFS）

广度优先搜索（Breadth-First-Search），我们平常都简称为BFS。直观地讲，它其实就是一种“地毯式”层层推进的搜索策略，即先查找离起始点最近的，然后是次近的，依次往外搜索。理解起来并不难，如下图。

这里面，bfs()函数就是基于之前定义的，图的广度优先搜索的代码实现。其中 s 表示起始的顶点，t 表示终止的顶点。我们搜索一条从 s 到 t 路径。实际上，这样求得的路径就是从 s 到 t 的最短路径。

		public void bfs(int s, int t) {
			if (s == t) {
				return;
			}
			boolean[] visited = new boolean[v];
			visited[s] = true;
			Queue queue = new LinkedList<>();
			queue.add(s);
			int[] prev = new int[v];
			for(int i = 0; i < v; ++i) {
				prev[i] = -1;
			}
			while(queue.size() != 0) {
				int w = queue.poll();
				for(int i = 0; i < adj[w].size(); ++i){
					int q = adj[w].get(i);
					if( !visited[q]) {
						prev[q] = w;
						if(q == t) {
							print(prev, s, t);
							return;
						}
						visited[q] = true;
						queue.add(q);
					}
				}
			}
		}
		private void print(int[] prev, int s, int t) { //递归打印 s -> t 的路径
			if(prev[t] != -1 && t != s) {
				print(prev, s, prev[t]);
			}
			System.out.println(t + " ");
		}

这段代码不好理解，大概解释下，这里面有三个变量
visited 是用来记录已经被访问的顶点，用来避免顶点被重复访问。如果顶点q 被访问，那相应的 visited[q]会被设置为true。

queue是一个队列，用来存储已经被访问、但相连的顶点还没被访问的顶点。因为广度优先搜索是逐层访问的，也就是说，我们只有把第k层的顶点都访问完之后，才能访问第 k+1 层的顶点。当我们访问到第 k 层顶点的时候，我们需要把第k 层的顶点记录下来，稍后才能通过第k 层顶点来找到 k+1 层的顶点。所以，我们用这个队列来实现记录功能。

prev用来记录搜索路径。当我们从顶点 s 开始，广度优先搜索到顶点 t 后，prev 数组中存储的就是搜索的路径。不过，这个路径是反向存储的。 prev[w] 存储的是w 是从哪个前驱顶点遍历过来的。比如，我们通过顶点2的邻接表访问到顶点3，那prev[3]就等于2。为了正向打印出路径，我们需要递归地来打印，你可以看下 print()函数的实现方式。

再来看下，广度优先算法的时间、空间复杂度是多少？

最坏情况下，终止顶点 t 离起始顶点 s 很远，需要遍历完整整个图才能找到。这个时候，每个顶点都要进出一遍队列，每个边也都会被访问一次，所以，广度优先的时间复杂度是O(V+E)，其中，V表示顶点的个数，E表示边的个数。当然，对于一个连通图来说，也就是说一个图中的所有顶点都是连通的，E肯定要大于等于V-1,所以广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为O(E)。

广度优先搜索的空间消耗主要在几个辅助变量 visited 数组、queue队列、prev数组上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数，所以空间复杂度的O(V)。

深度优先搜索（DFS）

深度优先搜索（Depth-First-Search）,简称DFS。最直观例子就是“走迷宫”。

假设你站在迷宫的某个岔路口，然后想找到出口。你随意选择一个岔路口来走，走着走着发现不能的时候，你就回退到上一个岔路口，重新选择一条路继续走，直到最终找到出口。这种走法就是一种深度优先搜索策略。

走迷宫的例子很容易能看懂，我们现在再来看下，如何在图中应用深度优先搜索，来找到某个顶点到另一个顶点的路径。

如下图，搜索的起始顶点是 s，终止顶点是 t，我们希望在图中寻找一条从顶点 s 到顶点 t 的路径。如果映射到迷宫那个例子，s 就是你起始所在的位置，t 就是出口。

我用深度递归算法，把整个搜索的的路径标记出来。这里面实线箭头表示遍历，虚线箭头表示回退。从图中我们可以看出，深度优先搜索找出来的路径，并不是顶点 s 到顶点 t 的最短路径。

实际上，深度优先搜索用的是一种比较著名的算法思想——回溯思想。这种思想解决问题的过程，非常适合用递归来实现。回溯思想我们后面会有专门的一节来讲，我们现在还回到深度优先搜索算法上。

上面的过程用递归来翻译出来，就是下面的样子。我们发现优先搜索代码实现也用到了prev、visited变量以及print()函数，它们跟广度优先搜索代码实现里的作用是一样的。不过，深度优先搜索代码实现里，有个比较特殊的变量 found，它的作用是，当我们已经找到终止基点 t 之后，就不用再递归继续查找了。

		boolean found = false; // 全局变量或者成员变量

		public void dfs(int s, int t) {
			found = false;
			boolean[] visited = new boolean[v];
			int[] prev = new int[v];
			
			for(int i = 0; i < v; ++i) {
				prev[i] = -1;
			}
			recurDfs(s, t, visited, prev);
			print(prev, s, t);
		}
		
		private void recurDfs(int w, int t, boolean[] visited, int[] prev) {
			if(found == true) {
				return;
			}
			visited[w] = true;
			if(w == t) {
				found = true;
				return;
			}
			for(int i = 0; i 

理解了深度做搜索算法之后，我们来看，深度优先搜索的时间、空间复杂度是多少。

从前面的图可以看出，每条边最多会被访问两次，一次是遍历，一次是回退。所以图上的深度优先搜索算法的时间复杂度是O(E)，E表示边的个数。

深度优先算法的消耗内存主要是 visited、prev数组和递归调用栈。 visited、prev数组的大小跟顶点的个数V成正比，递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数，所以总的空间复杂度是O(V)。

解答开篇

了解了深度优先搜索和广度优先搜索的原理之后，开篇的问题就变得比较简单了。

上一节我们讲过，社交网络可以用图来表示。这个问题就非常适合用图的广度优先搜索算法来解决，因为广度优先搜索是层层往外推进的。首先，遍历与起始顶点最近的一层顶点，也就是用户的一度好友，然后再遍历与用户距离边数为2的顶点，也就是二度好友关系，以及与用户距离边数为3的顶点，也就是三度好友关系。

我们只需要稍加改造一下广度优先搜索代码，用一个数组来记录每个顶点与起始顶点的距离，非常容易就可以找出三度好友关系。

内容小结

广度优先搜索和深度优先搜索是图上的两种最常用的、最基本的算法，比其他高级的搜索算法，比如A*、IDA*等，要简单粗暴，没什么优化，所以，也被叫作截图搜索算法为。所以，这两种搜索算法公适用于状态空间不大，也就是说图不大的搜索。

广度优先搜索，通俗的理解就是，地毯式层层推进，从起始顶点开始，依次往外遍历。它需要借助队列来实现，遍历得到的路径就是，起始顶点到终止顶点的最短路径。深度优先搜索算法用的是回溯思想，非常适合用递归实现。换种说法，深度优先搜索算法借助栈来实现。在执行效率方面，深度优先和广度优先搜索的时间复杂度都是O(E)，空间复杂度是O(V)。