算法学习系列之 红黑树

总体介绍

Java TreeMap实现了SortedMap接口，也就是说会按照key的大小顺序对Map中的元素进行排序，key大小的评判可以通过其本身的自然顺序（natural ordering），也可以通过构造时传入的比较器（Comparator）。
TreeMap底层通过红黑树（Red-Black tree）实现，也就意味着containsKey(), get(), put(), remove()都有着log(n)的时间复杂度。其具体算法实现参照了《算法导论》。

出于性能原因，TreeMap是非同步的（not synchronized），如果需要在多线程环境使用，需要程序员手动同步；或者通过如下方式将TreeMap包装成（wrapped）同步的：

SortedMap m = Collections.synchronizedSortedMap(new TreeMap(...));

红黑树是一种近似平衡的二叉查找树，它能够确保任何一个节点的左右子树的高度差不会超过二者中较低那个的一陪。具体来说，红黑树是满足如下条件的二叉查找树（binary search tree）

每个节点要么是红色，要么是黑色。
根节点必须是黑色
红色节点不能连续（也即是，红色节点的孩子和父亲都不能是红色）。
对于每个节点，从该点至null（树尾端）的任何路径，都含有相同个数的黑色节点。

在树的结构发生改变时（插入或者删除操作），往往会破坏上述条件3或条件4，需要通过调整使得查找树重新满足红黑树的条件。

预备知识

前文说到当查找树的结构发生改变时，红黑树的条件可能被破坏，需要通过调整使得查找树重新满足红黑树的条件。调整可以分为两类：一类是颜色调整，即改变某个节点的颜色；另一类是结构调整，集改变检索树的结构关系。结构调整过程包含两个基本操作：左旋（Rotate Left），右旋（RotateRight）。

左旋

左旋的过程是将x的右子树绕x逆时针旋转，使得x的右子树成为x的父亲，同时修改相关节点的引用。旋转之后，二叉查找树的属性仍然满足。

TreeMap中左旋代码如下：

//Rotate Left
private void rotateLeft(Entry p) {
    if (p != null) {
        Entry r = p.right;
        p.right = r.left;
        if (r.left != null)
            r.left.parent = p;
        r.parent = p.parent;
        if (p.parent == null)
            root = r;
        else if (p.parent.left == p)
            p.parent.left = r;
        else
            p.parent.right = r;
        r.left = p;
        p.parent = r;
    }
}

右旋

右旋的过程是将x的左子树绕x顺时针旋转，使得x的左子树成为x的父亲，同时修改相关节点的引用。旋转之后，二叉查找树的属性仍然满足。

TreeMap中右旋代码如下：

//Rotate Right
private void rotateRight(Entry p) {
    if (p != null) {
        Entry l = p.left;
        p.left = l.right;
        if (l.right != null) l.right.parent = p;
        l.parent = p.parent;
        if (p.parent == null)
            root = l;
        else if (p.parent.right == p)
            p.parent.right = l;
        else p.parent.left = l;
        l.right = p;
        p.parent = l;
    }
}

方法剖析

get()

get(Object key)方法根据指定的key值返回对应的value，该方法调用了getEntry(Object key)得到相应的entry，然后返回entry.value。因此getEntry()是算法的核心。算法思想是根据key的自然顺序（或者比较器顺序）对二叉查找树进行查找，直到找到满足k.compareTo(p.key) == 0的entry。

//getEntry()方法
final Entry getEntry(Object key) {
    ......
    if (key == null)//不允许key值为null
        throw new NullPointerException();
    Comparable k = (Comparable) key;//使用元素的自然顺序
    Entry p = root;
    while (p != null) {
        int cmp = k.compareTo(p.key);
        if (cmp < 0)//向左找
            p = p.left;
        else if (cmp > 0)//向右找
            p = p.right;
        else
            return p;
    }
    return null;
}

put()

put(K key, V value)方法是将指定的key, value对添加到map里。该方法首先会对map做一次查找，看是否包含该元组，如果已经包含则直接返回，查找过程类似于getEntry()方法；如果没有找到则会在红黑树中插入新的entry，如果插入之后破坏了红黑树的约束，还需要进行调整（旋转，改变某些节点的颜色）。

public V put(K key, V value) {
    ......
    int cmp;
    Entry parent;
    if (key == null)
        throw new NullPointerException();
    Comparable k = (Comparable) key;//使用元素的自然顺序
    do {
        parent = t;
        cmp = k.compareTo(t.key);
        if (cmp < 0) t = t.left;//向左找
        else if (cmp > 0) t = t.right;//向右找
        else return t.setValue(value);
    } while (t != null);
    Entry e = new Entry<>(key, value, parent);//创建并插入新的entry
    if (cmp < 0) parent.left = e;
    else parent.right = e;
    fixAfterInsertion(e);//调整
    size++;
    return null;
}

上述代码的插入部分并不难理解：首先在红黑树上找到合适的位置，然后创建新的entry并插入（当然，新插入的节点一定是树的叶子）。难点是调整函数fixAfterInsertion()，前面已经说过，调整往往需要1.改变某些节点的颜色，2.对某些节点进行旋转。

插入案例

【变色】：
为了符合红黑树的规则，会把节点红变黑或者黑变红。下图展示的是红黑树的部分，需要注意节点25并非根节点。因为21和22链接出现红色，不符合规则4，所以把22红变黑：

但这样还是不符合规则5，所以需要把25黑变红，看下图

你以为现在结束了？天真，因为25和27又是两个连续的红色节点(规则4)，所以需要将27红变黑。


由于17和25是连续的两个红色节点，那么吧节点17变黑吗？这样是不行的，你想这样一来不就打破了规则4了吗，而且根据规则2，也不可能吧13变成红色。变色已经无法解决问题了，所以只能进行旋转了。13当成X，17当成Y，左旋转试试看：


由于根节点必须是黑色，所以需要变色，结果如下图：

继续，其中有两条路径（17-）8->6->NULL）的黑色节点个数不是3，是4不符合规则。
这个时候需要把13当做X，8当做Y，进行右旋转：


最后根据规则变色：

红黑树完整实现：https://github.com/nullswj/RBTree

参考链接：http://www.360doc.com/content/18/0904/19/25944647_783893127.shtml