图论之最短路的几个算法

图论之最短路的几个算法

1.Floyd

时间复杂度：O(v^3) v:vertex(顶点数(
空间复杂度：O(v^2)

思想：DP
用g[ i ] [ j ] 表示从 顶点 i 到 顶点 j 的最小权值和。
状态转移方程：g[ i ] [ j ] = m i n( g[ i ] [ j ] , g[ i ] [ k] + g[ k] [ j ] )
直白意思就是：顶点 i 到 顶点 j 经过顶点 k 和 不经过 顶点 k 取最小值。
初始化：所有点之间距离 为 I N F
具体细节见下面模板代码：

for(int k=1;k<=n;k++)//k循环必须放在最外层,放在第二层或第三层都会WA 因为一个k相当一个中转站。应该先对一个中转站将所有点压缩距离,然后再进行下一个中转站。如果对一个点进行所有中转站的遍历则没有压缩距离的效果 
			for(int i=1;i<=n;i++)//总结就是状态的转移是通过不同的i j 而不是通过不同的k 所以k在最外层。
				    if(g[i][k]!=inf)//一个优化：如果i k 之间没有路径 直接进行下一个i. 
				for(int j=1;j<=n;j++)
					g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k][j]);//此处用if 比 min 快一点。

Floyd算法需要注意的几个地方：
1.时间复杂度很大。只适用于小规模的图。
2.三重循环中k一定要在最外层 具体原因代码中解释了。

试题传送门：
Floyd裸题 hdu2544
Floyd 传递闭包 hdu1704

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