统计|如何理解区间估计中σ已知和未知的情形

本博文源于《商务统计》，区间估计对于一些初学者来说是非常头痛的事情，公式有多，看有么看不懂，不知道如何去做，去估计置信区间。本博文就以熟悉的例子来理解σ已知和未知的情形。

区间估计起源

总体和样本是两个概念，我们总想让样本的一些特性去估计总体的属性，现实中根据前人已经总结好的定律：大数定律。告诉我们，只要样本足够大就能清晰描述总体的属性。而且样本大一定能服从正态分布。
统计|如何理解样本足够大样本就一定服从正态分布
那么这时候我们可以用样本的一些属性较好的模拟出总体的分布。

区间估计：正态总体，σ^2已知

前面提到样本大就一定服从正态分布，样本大在我们统计学中一般认为n>30即可，即使样本<30，但题目中已经告诉你正态总体的情况下，其实也可以。σ^2就是样本方差…这时候我们用正态分布统计量z来搞定区间估计：

或许根本不需要理解z的具体内容，只需要知道z一般题目中会在这种前提下会告诉你，比如这题：

例子：食品检测标准案例

解决实验步骤

• 求取25袋食品重量的均值
• 然后将题目中的量化为参数带进公式
• 计算公式的值，求取结果。

实验内容解决细节

• 25袋食品质量平均值105.36
• z统计量是95%置信水平区间，因此是1.96
• 标准差σ告诉我们是10
• n就是样品容量是25
  

区间估计：正态总体、σ^2未知，小样本

当σ^2不知道的时候，σ也就是标准差，标准差的平方就是方差，方差未知，可以根据t分布统计量去模拟，为什么t统计量，因为《统计学》中，有一张t分布表，t分布是正态分布小样本形态，随着样本增大，t分布逐渐逼近正态分布。这时候置信区间公式就变成了：

• t就是服从n-1自由度下的多少置信水平的值
• s就是样本标准差
• n就是样本的数量
• x把 就是样本均值

例子：灯泡寿命置信区间

解决实验步骤

• 计算样本平均值x把
• 计算样本标准差s
• 查出t表，t的自由度是样本大小-1
• 套用公式收获喜悦

实验内容细节

• n=16
• 1-α=95%
• t(α/2)=2.131
• 样本均值x拔为1490
• s标准差为24.77
• 代入公式，求取结果
  

总结

区间估计是我们根据样本的性值去估计总体的分布一个很好的手段，而一般的形式无非是：点估计±临界值 * 标准误差,然后根据σ已知和未知去分类，如果已知那就是正态分布z统计量，如果未知那就是t分布统计量。