高级数据结构及算法分析与设计第二讲

 一    问题计算复杂度的界定

         

二    算法及时间复杂度

      1. 基本概念

        有限条指令的序列--求解问题的一系列步骤

                 算法A求解问题P：

           把问题P的任何实例作为算法A的输入，每步计算是确定性的。

                      A能够在有限步停机并输出该实例的正确的解

                 基本运算与输入规模

                       算法时间复杂度：针对指定基本运算，计算算法所做运行次数

                       基本运算有：比较，加法，乘法，置指针， 交换等

     2. 算法的两种时间复杂度

          平均情况下的复杂度A(n)

           设S是规模为n的实例集

           实例IϵS的概率是PI

           算法对实例I所执行的基本运算次数是tI

 

            A(n)=?ϵ?PI ∑_IϵS▒"PI " tI

          最坏情况下的复杂度W(n)

    3. 算法的伪码表示

        先写算法  后面函数名   然后输入  输出  之后伪代码

用伪码表示算法

            伪码不是程序代码，只是给出关键步骤

            伪码关键字

            伪码中允许过程调用

        

     4. 函数的渐进的界

         大O符号  上界复杂度

              设f和g是定义域为自然集的N上的函数，若存在正数c和n0，使得对一切n > n0有

                                                               0 <= f(n)  <= cg(n)

              成立， 则称f(n)的渐进上界是g(n)    记为  f(n) = O(g(n))

       大Ω符号  下界复杂度

               定义：设f和g是定义域为自然数集N上的函数.若存在正数c和n0，使得对一切n>n0有，

                                             0≤cg(n) ≤f(n)

               成立，则称f(n)的渐进的下界是g(n),

               记作

                                          f(n)= Ω(g(n))

         小o符号

                  定义：设f和g是定义域为自然数集N上的函数.若对任意正数c,都存在n0，使得对一起n>n0有，

                                       0≤f(n)<c g(n)

                  成立，则记作

                                         f(n)=o(g(n))

        小ω符号  

                定义：设f和g是定义域为自然数集N上的函数.若对任意正数c,都存在n0，使得对一起n>n0有，

                                         0≤c g(n) < f(n)

                成立，则记作

                                         f(n)= ω(g(n))

?      Θ符号  

              若f(n)=O(g(n))且f(n)= Ω(g(n))，则记作

                                       f(n)= ?Θ(g(n))

    5. 有关函数渐进的界的三个定理

        定理1

        定理  设f和g是定义域为自然数集合的函数.

        (1)如果lim?→∞?(?)/?(?)存在，lim┬(n→∞)⁡〖f(n)/g(n)〗 存在，并且等于某个常数c>0,那么f(n)= ?Θ(g(n)).

        (2)如果lim?→∞?(?)/?(?)=0lim┬(n→∞)⁡〖f(n)/g(n)〗=0,那么f(n)= o(g(n)).

        (3)如果lim?→∞?(?)/?(?)=lim┬(n→∞)⁡〖f(n)/g(n)〗=+∞,那么f(n)= ω(g(n)).

                  多项式函数的阶低于指数函数的阶

                    对数函数的阶低于幂函数的阶

       定理2

       定理  设函数f,g,h的定义域为自然数集合

     （1）如果f=O(g),且g=O(h),那么f=O(h).

     （2）如果f= Ω(g),且g= Ω(h),那么f= Ω(h).

     （3）如果f= ?Θ(g),且g= ?Θ(h),那么f= ?Θ(h).

 

           函数的阶之间的关系具有传递性

       定理3

 定理 假设函数f和g的定义域为自然数集合，若对某个其它函数h,有f=O(h)和g=O(h),

 那么                    f+g=O(h)

      该性质可以推广到有限个函数.

      算法由有限步骤构成，若每一步的时间复杂度上界都是h(n),那么该函数的时间复杂度函数可以写作O(h(n))