上下界网络流的建模

【目录】

• 无源汇可行流
• 有源汇可行流
• 有源汇最大流
• 有源汇最小流
• 有源汇费用流

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无源汇可行流

给出一个网络，没有源点和汇点，每条边有一个最低流量和一个最高流量，问在满足流量平衡（流入等于流出）的前提下，能否满足所有的流量限制？

问题分析

设该网络为$G=(V,E)$，限制条件为每个点都应该满足"流量守恒"，即
对于$\forall x\in G$，有
$$\sum _{(u,x)\in E}f(u,x)=\sum _{(x,v)\in E}f(x,v)$$
设边$e$的下界为$lower(e)$，上界为$upper(e)$，则流量$f(e)$应满足
$$lower(e)\le f(e)\le upper(e)$$
要求判断是否存在一种可行方案。

建模方式

考虑先处理掉每条边的流量下界，即强制让当前每条边$e$的流量$f(e)$=$lower(e)$。但这样会导致无法满足"流量守恒"。现在的问题是，每条边仅有流量上界$upper(e)-lower(e)$，要给每条边增加一些流量，使所有结点满足"流量守恒"。

• 首先建立附加源$s^{\prime }$，附加汇$t^{\prime }$

当每条边的流量都为下界流量时，结点$x$存在总流入与总流出，设$d(x)=$总流入$-$总流出。考虑去平衡每个点的流量

• 当总流入>总流出时，建边$(s^{\prime },x)$，容量为$d(x)$
• 当总流入<总流出时，建边$(x,t^{\prime })$，容量为$-d(x)$

然后考虑每条边的流量上界

• 对于原网络中的每条边$e=(x,y)$，建边$(x,y)$，容量为$upper(e)-lower(e)$。

在新网络上求解$s\to t$的最大流，若所有从$s^{\prime }$出发的边的流量都满载，则存在可行流。
当新网络求解出最大流后的残量网络中边$e$的流量为$f(e)$时，原图中该边的流量为$f(e)+lower(e)$。

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有源汇可行流

给出一个网络，有源点$s$和汇点$t$，每条边有一个最低流量和一个最高流量，问在满足流量平衡（流入等于流出）的前提下，能否满足所有的流量限制？

问题分析

与无源汇可行流相比只是多了一个只有流出的源点$s$，和一个只有流入的汇点$t$。

建模方式

在原网络的基础上，建边$e=(t,s)$，下界$lower(e)=0$，上界$upper(e)=\infty$。不难发现问题转化为了无源汇可行流问题。

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有源汇最大流

给出一个网络，有源点$s$和汇点$t$，每条边有一个最低流量和一个最高流量，问在满足流量平衡（流入等于流出）的前提下，$s\to t$的最大流？

问题分析

先用有源汇可行流的方法求出可行流，然后考虑求解最大流。

建模方式

参照有源汇可行流的方法求出可行流，此时从附加源$s^{\prime }$到附加汇$t^{\prime }$的所有路径均不能再增广。但从$s$到$t$的路径仍有可能存在增广路，因此要在求解过可行流的残量网络上求解$s\to t$的最大流。

于是 原图最大流 $=$ 可行流 $+$ $s\to t$最大流。

至于可行流的大小，有一个简便的求法，在求出可行流后，边$(t,s)$的流量就是可行流的大小。

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有源汇最小流

给出一个网络，有源点$s$和汇点$t$，每条边有一个最低流量和一个最高流量，问在满足流量平衡（流入等于流出）的前提下，$s\to t$的最小流？

问题分析

可以仿照有源汇最大流的思路，先求出可行流，在求出最小流。

建模方式

仍然是先求出可行流。考虑有源汇最大流在求解时增加了残量网络上还能增加的流量，那么有源汇最小流就应该在残量网络上减去还能减少的流量。
求解出可行流后，删去边$(t,s)$，再求解$t\to s$的最大流。
则 原图最小流 $=$ 可行流 $-$ $t\to s$最大流。

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有源汇费用流

给出一个网络，有源点$s$和汇点$t$，每条边有一个最低流量和一个最高流量和费用，问在满足流量平衡（流入等于流出）的前提下，$s\to t$的最小费用最大流？

问题分析

设边$e$的费用为$cost(e)，$类比最大流即可。

建模方式

• 首先建立附加源$s^{\prime }$，附加汇$t^{\prime }$
• 建边$(t,s)$，流量为$\infty$，费用为$0$

当每条边的流量都为下界流量时，结点$x$存在总流入与总流出，设$d(x)=$总流入$-$总流出，则

• 当总流入>总流出时，建边$(s^{\prime },x)$，容量为$d(x)$，费用为$0$
• 当总流入<总流出时，建边$(x,t^{\prime })$，容量为$-d(x)$，费用为$0$

然后是源网络中的边

• 对于原网络中的每条边$e=(x,y)$，建边$(x,y)$，容量为$upper(e)-lower(e)$，费用为$cost(e)$。

先求解可行流，在求解$s\to t$的最小费用最大流。
则 原图最小费用 $=$ 原图中每条边下界流量的费用 $+$ $s\to t$最小费用。