上下界网络流的建模

【目录】

  • 无源汇可行流
  • 有源汇可行流
  • 有源汇最大流
  • 有源汇最小流
  • 有源汇费用流

无源汇可行流

给出一个网络,没有源点和汇点,每条边有一个最低流量和一个最高流量,问在满足流量平衡(流入等于流出)的前提下,能否满足所有的流量限制?

问题分析

设该网络为 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E),限制条件为每个点都应该满足"流量守恒",即
对于 ∀ x ∈ G \forall x \in G xG,有
∑ ( u , x ) ∈ E f ( u , x ) = ∑ ( x , v ) ∈ E f ( x , v ) \sum\limits_{(u,x)\in E}f(u,x)=\sum\limits_{(x,v)\in E}f(x,v) (u,x)Ef(u,x)=(x,v)Ef(x,v)
设边 e e e的下界为 l o w e r ( e ) lower(e) lower(e),上界为 u p p e r ( e ) upper(e) upper(e),则流量 f ( e ) f(e) f(e)应满足
l o w e r ( e ) ≤ f ( e ) ≤ u p p e r ( e ) lower(e)\leq f(e) \leq upper(e) lower(e)f(e)upper(e)
要求判断是否存在一种可行方案。

建模方式

考虑先处理掉每条边的流量下界,即强制让当前每条边 e e e的流量 f ( e ) f(e) f(e)= l o w e r ( e ) lower(e) lower(e)。但这样会导致无法满足"流量守恒"。现在的问题是,每条边仅有流量上界 u p p e r ( e ) − l o w e r ( e ) upper(e)-lower(e) upper(e)lower(e),要给每条边增加一些流量,使所有结点满足"流量守恒"。

  • 首先建立附加源 s ′ s' s,附加汇 t ′ t' t

当每条边的流量都为下界流量时,结点 x x x存在总流入总流出,设 d ( x ) = d(x)= d(x)=总流入 − - 总流出。考虑去平衡每个点的流量

  • 总流入>总流出时,建边 ( s ′ , x ) (s',x) (s,x),容量为 d ( x ) d(x) d(x)
  • 总流入<总流出时,建边 ( x , t ′ ) (x,t') (x,t),容量为 − d ( x ) -d(x) d(x)

然后考虑每条边的流量上界

  • 对于原网络中的每条边 e = ( x , y ) e=(x,y) e=(x,y),建边 ( x , y ) (x,y) (x,y),容量为 u p p e r ( e ) − l o w e r ( e ) upper(e)-lower(e) upper(e)lower(e)

在新网络上求解 s → t s\rightarrow t st的最大流,若所有从 s ′ s' s出发的边的流量都满载,则存在可行流。
当新网络求解出最大流后的残量网络中边 e e e的流量为 f ( e ) f(e) f(e)时,原图中该边的流量为 f ( e ) + l o w e r ( e ) f(e)+lower(e) f(e)+lower(e)


有源汇可行流

给出一个网络,有源点 s s s和汇点 t t t,每条边有一个最低流量和一个最高流量,问在满足流量平衡(流入等于流出)的前提下,能否满足所有的流量限制?

问题分析

与无源汇可行流相比只是多了一个只有流出的源点 s s s,和一个只有流入的汇点 t t t

建模方式

在原网络的基础上,建边 e = ( t , s ) e=(t,s) e=(t,s),下界 l o w e r ( e ) = 0 lower(e)=0 lower(e)=0,上界 u p p e r ( e ) = ∞ upper(e)=\infty upper(e)=。不难发现问题转化为了无源汇可行流问题。


有源汇最大流

给出一个网络,有源点 s s s和汇点 t t t,每条边有一个最低流量和一个最高流量,问在满足流量平衡(流入等于流出)的前提下, s → t s\rightarrow t st的最大流?

问题分析

先用有源汇可行流的方法求出可行流,然后考虑求解最大流。

建模方式

参照有源汇可行流的方法求出可行流,此时从附加源 s ′ s' s到附加汇 t ′ t' t的所有路径均不能再增广。但从 s s s t t t的路径仍有可能存在增广路,因此要在求解过可行流的残量网络上求解 s → t s\rightarrow t st的最大流。

于是 原图最大流 = = = 可行流 + + + s → t s\rightarrow t st最大流

至于可行流的大小,有一个简便的求法,在求出可行流后,边 ( t , s ) (t,s) (t,s)的流量就是可行流的大小。


有源汇最小流

给出一个网络,有源点 s s s和汇点 t t t,每条边有一个最低流量和一个最高流量,问在满足流量平衡(流入等于流出)的前提下, s → t s\rightarrow t st的最小流?

问题分析

可以仿照有源汇最大流的思路,先求出可行流,在求出最小流。

建模方式

仍然是先求出可行流。考虑有源汇最大流在求解时增加了残量网络上还能增加的流量,那么有源汇最小流就应该在残量网络上减去还能减少的流量。
求解出可行流后,删去边 ( t , s ) (t,s) (t,s),再求解 t → s t\rightarrow s ts的最大流。
原图最小流 = = = 可行流 − - t → s t\rightarrow s ts最大流


有源汇费用流

给出一个网络,有源点 s s s和汇点 t t t,每条边有一个最低流量和一个最高流量和费用,问在满足流量平衡(流入等于流出)的前提下, s → t s\rightarrow t st的最小费用最大流?

问题分析

设边 e e e的费用为 c o s t ( e ) , cost(e), cost(e)类比最大流即可。

建模方式

  • 首先建立附加源 s ′ s' s,附加汇 t ′ t' t
  • 建边 ( t , s ) (t,s) (t,s),流量为 ∞ \infty ,费用为 0 0 0

当每条边的流量都为下界流量时,结点 x x x存在总流入总流出,设 d ( x ) = d(x)= d(x)=总流入 − - 总流出,则

  • 总流入>总流出时,建边 ( s ′ , x ) (s',x) (s,x),容量为 d ( x ) d(x) d(x),费用为 0 0 0
  • 总流入<总流出时,建边 ( x , t ′ ) (x,t') (x,t),容量为 − d ( x ) -d(x) d(x),费用为 0 0 0

然后是源网络中的边

  • 对于原网络中的每条边 e = ( x , y ) e=(x,y) e=(x,y),建边 ( x , y ) (x,y) (x,y),容量为 u p p e r ( e ) − l o w e r ( e ) upper(e)-lower(e) upper(e)lower(e),费用为 c o s t ( e ) cost(e) cost(e)

先求解可行流,在求解 s → t s\rightarrow t st的最小费用最大流。
原图最小费用 = = = 原图中每条边下界流量的费用 + + + s → t s\rightarrow t st最小费用

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