ACM-ICPC必备之 线段树
处理涉及到图形的面积、周长等问题的时候，并不需要依赖很深的数学知识，但要提高处理此类问题的效率却又十分困难。这就需要从根本上改变算法的基础——数据结构。这里要说的就是一种特殊的数据结构——线段树。
我们往往遇到这样的问题，研究的对象是数量庞大的线段，普通的方法往往是O(n^2)，的，而用线段树我们可以做到O(nlogn)。
线段树是一棵完全二叉树，它的根节点代表一个区间[a,b]，左结点是[a,(a+b) div 2]，右结点是[(a+b) div 2,b]，且左右结点分别是线段树，注意我们这里说的是线段，[a,b]即表示数轴上a,b两点间的线段，所以左结点和右结点并没有交。
线段数的基本操作有插入、查找、删除，而插入删除的操作都是建立在查找的基础上的：
查找线段[a,b]
根据当前结点的边界中点把[a,b]分成最多2部分，然后递归查找它的左右结点。
删除[a,b]
找到[a,b]后，将其结点的相关数据清除即可，不需要删除结点。
插入[a,b]
找到[a,b]后，添加其结点的相关数据。
相关数据依题目的要求不同而不同，这里不一一列举。
因为线段树是一棵完全二叉树，所以可以用数组模拟，父结点s，左孩子s*2，右孩子s*2+1。
线段树的复杂度就是查找的复杂度，不难证明每层最多只访问2个结点，而总层数是log(b-a)，所以复杂度是O(2log(b-a))=O(logn)
【摘要】
本文通过对线段树程序实现的介绍，和具体应用题目的分析，使读者对线段树有一个初步的理解，并能在做类似题目或者软件编写上，更加从容，起到扩展知识面的作用。
【关键字】
线段树 时间复杂度 树状数组 优化
【正文目录】
第一章 线段树基础知识
1.1线段树的定义
1.2线段树的性质与时空复杂度简介
1.3线段树结点的基本存储类型
1.4线段树的常用操作与及实现方法
第二章 线段树的两种变化
2.1线段树的第一种变化
2.2线段树的第二种变化 （树状数组）
第三章 线段树的一些优化
3.1线段树的简单优化
3.2线段树的扩展
【正文】
在学习与竞赛中，经常遇到与区间、图形的面积、周长等有关的问题。处理涉及这些知识的问题，并不需要依赖很深的数学知识，但要提高处理此类问题的效率简单的结构又很难做到，这里引入一种特殊的数据结构：线段树。一条线段又是对应于一个区间而言的，因此线段树也叫区间树。
第一章 线段树基础知识
1.1 线段树的定义
定义1 长度为1的线段称为元线段。
定义2 一棵树被成为线段树，当且仅当这棵树满足如下条件：
（1） 该树是一棵二叉树。
（2） 树中每一个结点都对应一条线段[a,b]。
（3） 树中结点是叶子结点当且仅当它所代表的线段是元线段。
（4） 树中非叶子结点都有左右两个子树，做子树树根对应线段[a , (a + b ) / 2]，右子树树根对应线段[( a + b ) / 2 , b]。
下图就是一棵长度范围为[1 , 10]的线段树。
但是这种二叉树较为平衡，和静态二叉树一样，提前根据应用的部分建立好树形结构。针对性强，所以效率要高。一般来说，动态结构较为灵活，但是速度较慢；静态结构节省内存，速度较快。
1.2 线段树的性质与时空复杂度简介
下面介绍线段树的两个性质（证明略）。
性质1 长度范围为[1,L]的一棵线段树的深度不超过log(L-1) + 1。
性质2 线段树把区间上的任意一条长度为L的线段都分成不超过2logL条线段。
空间复杂度 存储一棵线段树的空间复杂度一般为O（L）。
时间复杂度 对于插入线段、删除线段，查找元素，查找区间最值等操作，复杂度一般都是O（log L）。
线段树主要应用了平衡与分治的性质，所以基本时间复杂度都和log有关。我们在应用线段树解决问题的时候，应尽量在构造好线段树的时候，使每种操作在同一层面上操作的次数为O（1），这样能够维持整体的复杂度O（log L）。
1.3 线段树结点的基本存储类型
基本的数据类型结构类：
class Node {
Node * leftChild, * rightChild;
int leftSide, rightSide;
Element element;
};
其中leftChild和rightChild是分别指向左右儿子的指针，当该结点为叶子结点的时候，二者值为NULL。
leftSide和rightSide表示此结点对应线段为[leftSide,rightSide]。
在程序实现的时候也可以不将这两者记录下来，而采取参数传递的办法得到等价的信息。
Element即是存储的除结构外的信息，来实现程序的目的。
1.4 线段树的常用操作及实现方法
我们来看一个例题，通过例题来了解线段树的操作与及实现方法。
例题1（ZJU1610 Count The Colors 线段树基本应用题目）
题目原文：http://acm.zju.edu.cn/show_problem.php?pid=1610
简要翻译：给出在线段[0,8000]上的若干次涂色，问最后能看见哪些颜色，并统计能看到多少段。
解析：
就这个题目而言，方法很多，而且数据范围不大，但我们从线段树的角度来解决这个问题。
建树自然就是建立一棵代表线段[0,8000]的线段树，涂色操作就是将[a , b]涂成颜色c。最后做统计。
所以结构中Element可以改为Color。
Color>=0当且仅当改结点代表的线段所有颜色均为Color。
那么每一个球的颜色可以表示成深度最小的包含此球的Color>=0线段的颜色。
于是我们可以从前到后模拟图色过程，最后做一个统计即可。于是复杂度为O（n log L），其中n为操作数，L为线段长度。
线段树的另外一个应用就是查询线段有否被一些线段覆盖，并随时查询当前被覆盖线段的总长度。那么此时可以在结点结构中加入一个整型变量count；代表当前结点代表的子树中被覆盖的线段长度和。这样就要在插入（删除）当中维护这个count值，于是当前的覆盖总值就是根节点的count值了。
//解题报告！！！！！
思路
线段树.
参考程序
var
tree:array[1..30000] of longint;
sum:array[0..8000] of longint;
n,i,colour,x1,x2:longint;
//杂色是 －1
procedure pyq(p:longint);//分割线段函数，把自己的颜色给 孩子，杂色的不用分割
begin //这道题的关键！！！，解决线段被覆盖的问题！！
if tree[p]<>-1 then
begin
tree[p*2]:=tree[p];
tree[p*2+1]:=tree[p];
tree[p]:=-1;
end;
end;
procedure insert(p,left,right,a,b:longint);
var
mid:longint;
begin
mid:=(left+right) div 2;
if (left=a)and(right=b) then tree[p]:=colour
else if mid>=b then
begin
pyq(p);
insert(p*2,left,mid,a,b);
end
else if a>=mid then
begin
pyq(p);
insert(p*2+1,mid,right,a,b);
end
else
begin
pyq(p);
insert(p*2,left,mid,a,mid);
insert(p*2+1,mid,right,mid,b);
end;
end;
procedure count(p,left,right:longint);
var
mid:longint;
begin
mid:=(left+right) div 2;
if (tree[p]=-2) then
begin
colour:=-2;
exit;
end
else if (colour<>tree[p])and(tree[p]<>-1) then
begin
colour:=tree[p];
inc(sum[colour]);
end
else if (right-left=1)or(colour=tree[p]) then exit
else if tree[p]=-1 then
begin
count(p*2,left,mid);
count(p*2+1,mid,right);
end;
end;
procedure print;
var
i:longint;
begin
for i:=0 to 8000 do
if sum[i]<>0 then
writeln(i,' ',sum[i]);
writeln;
end;
while not eof do
begin
readln(n);
fillchar(sum,sizeof(sum),0);
for i:=1 to 30000 do
tree[i]:=-2;
for i:=1 to n do
begin
readln(x1,x2,colour);
insert(1,0,8000,x1,x2);
end;
colour:=-3;
count(1,0,8000);
print;
end;
end.