三维坐标变换原理-平移, 旋转, 缩放

齐次坐标

给定一个二维点(x, y)，那么形如(kx, ky, k)的所有三元组就都是等价的，它们就是这个点的齐次坐标(homogeneous)。齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示，是指一个用于投影几何里的坐标系统，如同用于欧氏几何里的笛卡儿坐标一般

矩阵的乘法

矩阵的乘法运算，阮一峰老师写的比较清楚,具体可以看这里

矩阵的线性变换

矩阵的线性变换就是从一个线性空间的某一个点跃迁到另一个线性空间的另一个点的运动。也就是说是一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去

矩阵和线性变换之间的关系：矩阵本身描述了一个坐标系，矩阵与矩阵的乘法描述了一个运动。换句话说：如果矩阵仅仅自己出现，那么他描述了一个坐标系，如果他和另一个矩阵或向量同时出现，而且做乘法运算，那么它表示运动（线性变换）

数学表述为: , 即矩阵 M 描述了向量到向量的运动

如将三维坐标D1经过矩阵M变换到坐标D2, 就可以表达为： $D2 = D1·M=\begin{bmatrix}a1 & b1 & c1\\a2 & b2 & c2 \\a3 & b3 & c3 \\\end{bmatrix} \begin{pmatrix}x1\\y2\\z3\\\end{pmatrix}=x1\begin{pmatrix}a1\\a2\\a3\\\end{pmatrix} + y1\begin{pmatrix}b1\\b2\\b3\\\end{pmatrix} + z1\begin{pmatrix}c1\\c2\\c3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}X\\Y\\Z\\\end{pmatrix}$

坐标变换

平移

假设在三维空间坐标系中, 点(x, y, z)在x方向移动了dx, y方向移动dy, z方向移动了dz。到达点(X, Y, Z), 则

X = x + dx
Y = y + dy
Z = z + dz
复制代码

如上所述, 则存在一个平移矩阵M,使得，但是在纯粹的三维矩阵中，我们永远也找不到这样一个矩阵M使条件成立。此时可以借助齐次坐标。齐次坐标规定用一个n+1维度的向量来表示原来的n维向量. 此时将(x, y, z) 表示为(x, y, z, 1), 则可以得到矩阵M

验证: 假设(4, 8, 2), x方向移动了dx, y方向移动dy, z方向移动了dz, 则(4+dx, 8+dy , 2+dz) $A_j = A_i·M=\begin{pmatrix}4&8&2&1\\\end{pmatrix}\begin{bmatrix}1& 0 & 0& 0\\0 & 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1& 0\\dx & dy & dz & 1\\\end{bmatrix} = \begin{pmatrix}4+dx& 8+dy & 2 + dz & 1\end{pmatrix}$

缩放

假设在三维空间坐标系中, 点(x, y, z)在x方向缩放了Sx, y方向缩放了Sy, z方向缩放了Sz。到达点(X, Y, Z), 则

X = x * Sx
Y = y * Sy
Z = z * Sz
复制代码

同理，缩放矩阵为

旋转

矩阵的旋转比较复杂，需要涉及到三角函数。点(x, y, z)绕X轴旋转θ度时，到达点(X, Y, Z), 则

X = X
Y = y*cosθ - y*sinθ
z = z*sinθ + z*cosθ
复制代码

矩阵M为

绕Y轴旋转时

绕Z轴旋转时

欧拉变换是绕3个旋转轴的旋转矩阵的乘积

示例分析

在webgl中, 在矩阵变换常用的库glmatrix中有计算平移矩阵的translate方法

/**
 * Translate a mat4 by the given vector
 *
 * @param {mat4} out the receiving matrix
 * @param {mat4} a the matrix to translate
 * @param {vec3} v vector to translate by
 * @returns {mat4} out
 */
function translate(out, a, v) {
  var x = v[0],
      y = v[1],
      z = v[2];
  var a00 = void 0,
      a01 = void 0,
      a02 = void 0,
      a03 = void 0;
  var a10 = void 0,
      a11 = void 0,
      a12 = void 0,
      a13 = void 0;
  var a20 = void 0,
      a21 = void 0,
      a22 = void 0,
      a23 = void 0;

  if (a === out) {
    out[12] = a[0] * x + a[4] * y + a[8] * z + a[12];
    out[13] = a[1] * x + a[5] * y + a[9] * z + a[13];
    out[14] = a[2] * x + a[6] * y + a[10] * z + a[14];
    out[15] = a[3] * x + a[7] * y + a[11] * z + a[15];
  } else {
    a00 = a[0];a01 = a[1];a02 = a[2];a03 = a[3];
    a10 = a[4];a11 = a[5];a12 = a[6];a13 = a[7];
    a20 = a[8];a21 = a[9];a22 = a[10];a23 = a[11];

    out[0] = a00;out[1] = a01;out[2] = a02;out[3] = a03;
    out[4] = a10;out[5] = a11;out[6] = a12;out[7] = a13;
    out[8] = a20;out[9] = a21;out[10] = a22;out[11] = a23;

    out[12] = a00 * x + a10 * y + a20 * z + a[12];
    out[13] = a01 * x + a11 * y + a21 * z + a[13];
    out[14] = a02 * x + a12 * y + a22 * z + a[14];
    out[15] = a03 * x + a13 * y + a23 * z + a[15];
  }

  return out;
}
复制代码

通常使用translate方法来创建一个平移矩阵, 之后再shader中便可以通过这个平移矩阵来计算gl_Position的值。通过上面的结果我们知道平移矩阵由最后四位数决定, 所以只需要计算数组的最后四位数即可。根据矩阵的运算法则, 即可得到结果。

通常如果在webgl想创建一个平移矩阵, 可以使用下面的方式。

var translateMatrix = mat4.create(); //创建单位矩阵
mat4.translate(translateMatrix, translateMatrix, vec3.fromValues(dx, dy, dz));
复制代码

得到平移矩阵后，传递到顶点shader中与需要计算的点相乘即可得到目标点的坐标。