数据结构----对称矩阵压缩存储中下标的计算

一.压缩存储的概念:

首先看一个对称矩阵：

以深灰色为对称轴，由于矩阵内数据对称，因此只需将任意一边的数据存储起来即可。

考虑到存储单元的线性结构，我们可以以一维数组的形式将其存储起来。

需要存储的元素为：

各个元素对应在一维数组中的位置示意图（按行优先存储）：

由图可见：元素在一维数组中的下标就是它矩阵左半部分中按行优先存储的序号。

二. 二维坐标转一维下标的方法：

矩阵中的坐标[i,j]转换成一维数组的下标K的方法为：

K = 在它前面的元素个数 = 它所在行的前面行所有元素的个数+它所在行在它前面元素的个数

例如：矩阵元素a[3,2] 对应一维数组中的下标就是：（它所在行的前面行的元素个数：第一行1个，第二行2个：1+2 = 3，它所在的列数：2    2-1 = 1，k = 3+1 = 4）4(注意：这里考虑一维数组以0为起点）

1>求它所在行的前面行所有元素的个数：

求它所在行的前面行所有元素的个数就是一个等差数列的求和，因为每行元素个数是逐级往下递增的，增量d为1，初值a1为1，终值an为i-1(i为行坐标）

sn = n(a1+an)/2 = (i-1)(1+i-1)/2 = i(i-1)/2

2>求它所在行在它前面元素的个数

它所在行前面的元素就是它的列数减一： j-1

3>结论

K = i(i-1)/2+j-1

由于我们存储的是左半部分+对角线上的元素，此时只满足(i<=j)

右半部分不能直接套用这个公式

由于：a[i,j] = a[j,i]，所以右半部分的公式可以由左半部分转换而来：

直接将左半部分公式里的i和j交换即可

三.公式

(假设k为在一维数组里的下标)

k = i(i-1)/2+j-1 (i>=j)

k = j(j-1)/2+i-1(i