有限元笔记8-一维单元二阶偏导的推导

对于拉普拉斯算符 Δ ，在做弱形式的时候通过格林公式可以将其转换为低一阶的梯度算符 ∇ 来进行计算。但是对更高阶的算符，比如 ∇(Δu) 这样的计算，常规的一阶偏导就不够用了，这个时候就需要二阶偏导数，也就是：

∂2N∂x2,∂2N∂x∂y,∂2N∂y2

先来看一维的情形，在等参单元中，全局坐标( x,y )与自然坐标( ξ,η )满足一定的转换关系，也就是可以互相写为对方的函数：

x=x(ξ,η)y=y(ξ,η)

同时也会有:

ξ=ξ(x,y)η=η(x,y)

对任意等参一维单元(只考虑沿 x 方向变化，注意，一维单元虽然是一维，但可以是三维空间下的一维单元)，我们定义该单元上第 i 个单元节点的形函数为：

Ni=Ni(ξ)

在等参空间中对其求偏导可以得到：

∂Ni∂ξ=∂Ni∂x⋅∂x∂ξ

再对其求一次偏导可以得到：

∂∂ξ(∂Ni∂ξ)=∂∂ξ(∂Ni∂x)⋅∂x∂ξ+∂Ni∂x⋅∂2x∂ξ2=∂2Ni∂x2⋅(∂x∂ξ)2+∂Ni∂x⋅∂2x∂ξ2

将我们需要的 ∂2Ni∂x2 移到等式右边就可以得到：

∂2Ni∂x2=(∂2Ni∂ξ2−∂Ni∂x⋅∂2x∂ξ2)/(∂x∂ξ)2

这个就是我们需要的针对高阶算符的二阶偏导了，对二维单元可以用同样的思路，通过链式法则来得到二维的二阶偏导，这里就不再给出了。

用三点lagrange插值多项式大概画一下，代码如下：

def N1(x):
    return (x - x2)*(x - x3)/((x1 - x2)*(x1 - x3))

def dN1(x):
    return (x - x2)/((x1 - x2)*(x1 - x3)) + (x - x3)/((x1 - x2)*(x1 - x3))
def d2N1(x):
    return 2/((x1 - x2)*(x1 - x3))

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x1=-1.0;x2=0.0;x3=1.0
x=np.linspace(x1,x3,50)
n1=N1(x)
dn1=dN1(x)
d2n1=d2N1(x)*np.ones(50)

plt.figure(1)
plt.subplot(131)
plt.title('$N_{1}$',fontsize=18)
plt.plot(x,n1)
plt.subplot(132)
plt.title(r'$\frac{\partial N_{1}}{\partial x}$',fontsize=18)
plt.plot(x,dn1)
plt.subplot(133)
plt.title(r'$\frac{\partial^{2}N_{1}}{\partial x^{2}}$',fontsize=18)
plt.plot(x,d2n1)
#plt.xticks(fontsize=12)
#plt.yticks(fontsize=12)
plt.savefig('shp2dnd.png',dpi=800,bbox_inches='tight')

结果如下：

常规的二阶单元在一次偏导之后基本就退化成线性函数了,要计算二阶偏导必须要求单元形函数满足 C1 连续。