博弈论总结 四大博弈模型 SG函数

一、博弈论

1、博弈论是什么

博弈论是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略，达到取胜的目的。

2、平等博弈

在我们平时做题碰见的博弈都是平等博弈，平等博弈满足下面这几个要求：
1.两人游戏，每人轮流做出决策，且每人的决策都是对自己有利的。（让自己赢）
2.有一个终止状态，到终止状态后游戏结束，不会有平局状态。（获胜的条件）
3.游戏可以在有限步数内结束。（不会无限重复，得不到答案）
4.所有规定对两人都是一样的。（平等游戏）

二、四大博弈模型

1、巴什博弈：

1.定义： 只有一堆物品，共n个，两人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个，最后取完这堆物品的人获胜。

2.结论： n%(m+1) != 0，先手肯定获胜

3.证明： 关于严格证明这里不多提，自己可以分析一下，每次给对手留剩m+1的倍数，最后一轮自己一定获胜，所以就看第一次取，自己能否构建这个局势（剩下m+1的倍数个物品），使得对手必输。

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2、尼姆博弈

1.定义： 有任意堆物品，每堆物品的个数也任意，双方轮流取物品，每次只能从一堆中取至少一个物品，取到最后一件物品的人获胜。

2.结论： 把每堆物品数全部异或起来，若值为0，则先手必败，否则先手必胜。

3.证明： 我们也是不严格证明，我们将每堆物品数异或起来为0这个状态称为必败态，顾名思义，这个状态下，谁取谁必败。因为当这个状态时，经过两人轮流取物，后者始终可以维持这个必败态，即A取完后，B一定可以取一个数，使得取完后每堆物品数异或起来仍为0。这样一直到最后一轮，B取完一定会使每堆数都为0，此时同样也是必败态（异或起来为0），这时B获胜，A面对所有堆都为0这个状态取，直接失败。
所以当每堆物品数全部异或起来，若值为0，此时已是必败态，先手必败；若值不为0，则先手一定会取一个数使得每堆数异或起来为0，达到必败态，从而后手必败。
注： 博弈时，每个人都会走当前最优策略，所以每个人都会尽量给对方创造必败态，给自己创造必胜态。

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3、斐波那契博弈（k倍动态减法）

1.定义： 有一堆物品，共n个，两人轮流取物，先手可取任意件，但不能不取，也不能把物品取完，之后每次取的物品数不能超过上一次的两倍，且至少为1件，取走最后一件物品的人获胜。

2.结论： 当且仅当n不是斐波那契数时，先手胜。

3.证明： 此博弈的证明需要各种不等式关系证明，一般记住结论即可，具体证明可以看这篇文章

扩展：k倍动态减法

1.定义： 有一堆物品，共n个，两人轮流取物，先手可取任意件，但不能不取，也不能把物品取完，之后每次取的物品数不能超过上一次的k倍，且至少为1件，取走最后一件物品的人获胜。
和斐波那契博弈一样，只不过拿的不是2倍了，而是一个任意的k倍，当k为2时就是完全的斐波那契博弈了。

2.结论： 我们手动构建一个a数列，若n是该数列中的数时，先手必败，否则后手必败。即该数列是必败态。

3.证明： 代码如下，具体证明可以看这篇文章

4.构建队列模板

#include
using namespace std;
const int N = 10010;

int main()
{
	int n,k,a[N],b[N];
	cin >> n >> k;
	a[0] = b[0] = 1;
	int i = 0,j = 0;
	while(n > a[i])
	{
		i++;
		a[i] = b[i-1] + 1;
		while(a[j+1] * k < a[i])
			j++;
		if(a[j] * k < a[i])
			b[i] = b[j] + a[i];
		else
			b[i] = a[i];
	}
	if(n == a[i])
		cout << "lose" << endl;
	else
		cout << "win" << endl;

	return 0;
}

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4、威佐夫博弈

1.定义： 有两堆物品，数量分别为a个和b个，两人轮流取物，每次可以从一堆中取出任意个，也可以从两堆中取出相同数量的物品，每次至少要取一个，最后取完所有物品的人获胜。

2.结论： 我们规定两堆数量为a和b且a < b，若a和b的差值乘上1.618恰好是a的值，则次为必败态，先手必败。有时追求精度可记w = (int)[( (sqrt(5)+1) / 2) * (b-a)]，若w == a，则先手必败，否则先手必胜。

3.证明： 这个证明比较神奇，也出现了神奇的黄金分割率618，具体证明可以看这篇文章

4.代码模板：

#include
#include
#include
using namespace std;

int main()
{
	int a,b;
	cin >> a >> b;
	if(b < a)
		swap(a,b);
	double c = (double)(b-a);
	int w = (int)(((sqrt(5)+1) / 2) * (b-a));
	if(w == a)
		cout << "lose" << endl;
	else
		cout << "win" << endl;

	return 0;
}

三、SG函数

1.mex函数： mex函数就是求集合中未出现的最小自然数。如mex{1，4，5，8} = 0，mex{0，1，5，9，13} = 2 。

2.SG函数： SG函数是将一个ICG（公平组合游戏）看作一个有向无环图，每一个局面看作一个结点，给所有当前局面和能走到的下一个局面建一条有向边。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的SG函数SG如下，SG(x)= mex({ SG(y₁),SG(y₂),…,SG(y_k)}) (y是x的后继) 。

在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1,y2,…,yk，SG(x)为x的后继节点的SG函数值构成的集合再执行mex运算的结果为该节点x的SG函数值。

整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点的SG函数值。

3.结论：
先定义 有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或值。而终点也就是游戏结束局面的SG(x) = 0。
则有：

有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的SG函数值大于0
有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的SG函数值等于0

具体证明可以参考这篇文章

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这些就是基础博弈的一些总结，后期可能会修改增加。
小白自用笔记，简单整理。