离散数学图论经典问题之握手定理

  今天学习了图论的一些经典问题，感觉挺有意思的，伟人不愧称之为伟人，想问题的方式果然与常人不同。好了，不说废话了，让我们回到今天的正题，握手定理。首先我认为学到一种新知识最好的检测方式就是利用该知识来解决实际问题。那么让我们来看一个实际案例吧。

案例：唐氏夫妇邀请另外三对夫妇来家里吃饭，以知每个人都不和自己握手，不和自己的配偶握手，同时最多和一人握手一次。在大家吃完饭后，唐先生问大家握了几次手，然而每个人的回答都不相同。请问：唐太太握手几次？

分析：首先解决这个问题，咱们应该建立一个图模型，具体怎么建立应该仔细分析案例中的每一个情景。整个情景之中，一共有8个人，唐先生问剩余7人之中握手次数，我们应该可以推出握手次数最多的那个人最多为6次。我们可以按编号的方式来解决。

 

剩余7人握手次数分布表1

A	B	C	D	E	F	G
0	1	2	3	4	5	6

从表一我们可以分析出A和G是一对夫妇，我们可以画出任意一对夫妇（比如A夫妇）握手的图出来，如下所示：

所以我们可以排除一对夫妇，在剩下的5人中寻找唐太太，那么对应这5人中，每人的握手次数也应该减少一次。分析如下表所示：

剩余5人的握手次数分布表2

B	C	D	E	F
0	1	2	3	4

同样从表2我们可以分析出B和F是一对夫妇，我们可以画出B夫妇握手的图出来，如下所示：

同样我们可以排除一对夫妇，在剩下三个人寻找唐太太，其中这三个人握手次数减少一次，分布如下：

剩余三人握手次数分布表3

C	D	E
0	1	2

同样我们可以从表3中得到，C和E是一对夫妇，我们可以画出C夫妇的握手图模型如下：

所以我们可以推出D是唐太太，根据表一，我们可以知道唐太太握手次数为3.

思路总结：本案例充分体现的握手定理的便利，理解每一句话建立模型，其中握手次数我们可以抽象成图论里面的度，每一个人可以抽象成图模型里的结点，握手抽象成图模型里的边。采用排除法的思想寻找唐太太，最终解决问题。

拓展：一：我们把案例中夫妇的数量换了，能否不用建立模型快速得到答案？

      二：此原理还可以解决生活中的哪些实例问题？（碳氢化合物，为什么H的个数始终为偶数？是否存在奇数个面，奇数条棱的多面体？）

知识点:握手定理

在无向图中G=,则所有的节点的度数总和等于边数的2倍；

在有向图G=中，所有节点的入度之和等于所有节点的出度之和，所有节点的度数的总和等于边数的2倍。