Discrete Mathematics 离散数学——图论

定理: The Hand Shaking Theorem

Hand Shaking Theorem: Let G = (V, E) be an undirected graph with m edges, then

Proof: Each edge contribute twice to the sum of the degrees of vertices, so the sum of the degrees is twice the number of edges.

Corollary of HS Theorem（推论）: An undirected graph has an even number of vertices of odd degree.

证明非常简单，因为总的度数是偶数(2m)，所以只可能有奇数条边（否则度数出现奇数）

基本的图

Complete graph Kn

The complete graph is the graph with n vertices and an edge connecting each pair of distinct（不同的） vertices. (n >= 1)

Cycles Cn

Cn is the graph with n vertices v1, v2, … , vn, and edges (v1, v2), (v2, v3), … , (vn, v1) (n >= 3)

Whells Wn

Obtained from Cn by adding a vertex and connecting it to each vertex of Cn (n >= 3)

n-cube Qn

The graph with 2^n vertices representing the bit string of length n. Two vertices are connected if the bit string they represent differ by one bit. (n >= 1)

二分图：Bipartite Graphs

满足，V集合（）所有点可以被分成两个不相交集，满足图中的每条边都连接一个 V1 中的点和一个 V2 中的点，那这个图是二分图。

eg: C6是二分图！

定理：二分图的一种判定

定理：一个图是二分的，当且仅当它可以被两种颜色涂满

完全二分图 Complete bipartite graph

定义：如果 A 和 B 分别是 V1，V2 集中的两个点，那么他们之间一定会有连线

表示： K(m, n): m 和 n 是两个集合中的点数

匹配（matching）和最大匹配

一个图中的matching指的是：一个集合 E 的子集 M ，使得没有任何两个边连向同一个节点

Maximum Matching： 有着最多边数的matching

Complete Matching from V1 to V2（从 V1 到 V2 的完全匹配）：如果每个 V1 里的节点都是匹配的端点

Hall’s Marriage Theorem

定义（邻居 neighborhood）：A 是 E 的子集，那么 N(A) 是相邻于至少一个 A 中节点的节点集合

Hall’s Marriage Theorem： 一个二分图，如果对于所有 V1 的子集 A 而言都有 |N(A)| >= |A|，那么这个二分图有从 V1 到 V2 的完全匹配