JZOJ 5466. 【NOIP2017提高A组冲刺11.9】玩游戏
Description
小A得了忧郁综合症，小B正在想办法开导她。
机智的小B决定陪着小A玩游戏，他从魔法的世界里变出一张无向联通图，每条边上都有边权。小B定义一条路径的权值为所有经过边中的最大权值，小A则定义两点的最短路径为所有路径中权值最小的路径权。
每次小A和小B会选出k对点mi_1,mi_2，分别计算出mi_1,mi_2的最短路径ti,然后小B会拿出k堆灵魂宝石，每堆有ti个。然后小A先从一堆中选出若干个灵魂宝石拿走，接下来小B重复同样的操作，如此反复，直到取走最后一颗灵魂宝石，然后取走最后一颗宝石的人获胜。
小B认为这样游戏太简单，于是他会不定期向这张图上加上一些边，以增大游戏难度。
小A具有预知未来的能力，她看到了自己和小B在未来游戏中的选择，以及小B增加的边。现在对于每次游戏，小A想知道自己是否存在必胜的方法。但是预知未来已经消耗了她太多精力，出于疲惫她只好找到了你。
Input
第一行三个数N和M和K，表示这张无向图初始的点数与边数，以及每次询问的点对的个数；
接下来M行，每行三个数u,v,q，表示点u和点v之间存在一条权值为q的
边；
接下来一行一个数Q，表示操作总数；
接下来Q行，表示操作，每行格式为下面两条中的一条：
1.add u v q：表示在u与v之间加上一条边权为q的边；
2.game m1_1 m1_2 … mk_1 mk_2：表示一次游戏中选择的k对点。
数据保证1≤u,v,mi_1,mi_2≤n，1≤q，mi_1≠mi_2
Output
对于每个game输出一行，若小A存在必胜策略，则输出“madoka”，否则输出“Baozika”，以回车结尾
Sample Input
5 6 2
1 2 3
2 3 6
4 2 4
5 3 5
3 4 5
5 1 5
4
game 1 3 4 3
game 1 5 2 4
add 2 5 4
game 1 5 3 4
Sample Output
Baozika
madoka
madoka
Data Constraint
Solution
首先考虑获胜策略。 k 堆石子，每堆石子数量为 ai 。
A 和 B 玩游戏，轮流从其中某一堆石子中取出若干个石子，最后取完石子的人获胜。
结论：如 a1 xor a2 xor ... xor ak=0 ，则先手输，否则先手赢， xor 表示异或。
证明：若 a1 xor a2 xor ... xor an≠0 ，则一定可以从其中某堆石子中取出一些石子，
使得剩下的石子数异或结果为 0，若 a1 xor a2 xor ... xor an=0 ，
则进行一次取石子操作后 a1 xor a2 xor ... xor an 一定不等于 0，
按照这样的操作下去，最后一定会出现 a1=a2= ... =an=0 的情况。
问题就变成了加边和求路径长。
算法1
看到询问次数很少，考虑 倍增+LCA 。
根据最小生成树的性质，我们发现路径一定在 无向图的最小生成树 上。
每次维护最小生成树，完成询问用树上 LCA 即可。
事实上，加入一条边只有可能改变最小生成树上的一条边。
假设加边为 x,y,z ，我们可以找到 x 到 y 的路径上的最大边权。
若该边权 >z ，显然将新边加入更优，否则忽略新边。
再将所有边用 O(N) 的插入排序排序即可。
套上在线 LCA 算法就可以愉快的 AC 了。
时间复杂度 O(D∗NlogN+(Q−D)∗logN) ，其中 D 为加边次数。
注意存边权要开 long long 。
算法2
如果加边次数不限呢？直接上 LCT 啊！
用 Link−Cut−Tree 维护最小生成树即可。
若当前加入的边小于当前树中边权的最大值，则将那个最大的边删去，再连当前边。
维护边权的话可以开一个虚点存边权，再连向两个点即可。
注意开够数组范围。
Code（倍增LCA）
#includeinline int get(int x)
{
return f[x]==x?x:f[x]=get(f[x]);
}
inline bool merge(int x,int y)
{
if(get(x)==get(y)) return false;
if(size[f[x]]return true;
}
inline void insert(int x,int y,LL z)
{
next[++tot]=first[x];
first[x]=tot;
en[tot]=y;
w[tot]=z;
}
inline void dfs(int x)
{
dep[x]=dep[fa[x][0]]+1;
for(int i=first[x];i;i=next[i])
if(en[i]^fa[x][0])
{
fa[en[i]][0]=x;
g[en[i]][0]=w[i];
dfs(en[i]);
}
}
inline LL lca(int x,int y)
{
if(dep[x]0;
for(int i=log2(dep[x]);i>=0;i--)
if(dep[fa[x][i]]>=dep[y])
{
mx=max(mx,g[x][i]);
x=fa[x][i];
}
if(x==y) return mx;
for(int i=log2(dep[x]);i>=0;i--)
if(fa[x][i]!=fa[y][i])
{
mx=max(mx,max(g[x][i],g[y][i]));
x=fa[x][i],y=fa[y][i];
}
mx=max(mx,max(g[x][0],g[y][0]));
return mx;
}
int main()
{
int n=read<int>(),m=read<int>(),k=read<int>();
for(int i=1;i<=m;i++)
a[i].x=read<int>(),a[i].y=read<int>(),a[i].z=read();
sort(a+1,a+1+m,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++) size[f[i]=i]=1;
for(int i=1,k=1;i<=m;i++)
if(merge(a[i].x,a[i].y))
{
insert(a[i].x,a[i].y,a[i].z);
insert(a[i].y,a[i].x,a[i].z);
a[++num]=a[i];
if(++k==n) break;
}
dfs(1);
for(int j=1,p=log2(n);j<=p;j++)
for(int i=1;i<=n;i++)
{
fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
g[i][j]=max(g[fa[i][j-1]][j-1],g[i][j-1]);
}
int q=read<int>();
while(q--)
{
char ch=getchar();
while(ch!='g' && ch!='a') ch=getchar();
if(ch=='g')
{
LL ans=0;
for(int i=1;i<=k;i++) ans^=lca(read<int>(),read<int>());
if(ans) puts("madoka"); else puts("Baozika");
}else
{
int x=read<int>(),y=read<int>();
LL z=read();
if(lca(x,y)<=z) continue;
tot=fa[1][0]=0;
memset(first,0,sizeof(first));
memset(g,0,sizeof(g));
//a[++num]=(data){x,y,z};
//sort(a+1,a+1+num,cmp);
bool pd=true;
for(int i=1;i<=num;i++)
if(z<=a[i].z)
{
for(int j=++num;j>i;j--) a[j]=a[j-1];
a[i]=(data){x,y,z};
pd=false;
break;
}
if(pd) a[++num]=(data){x,y,z};
for(int i=1;i<=n;i++) size[f[i]=i]=1;
num=0;
for(int i=1,k=1;i<=n;i++)
if(merge(a[i].x,a[i].y))
{
insert(a[i].x,a[i].y,a[i].z);
insert(a[i].y,a[i].x,a[i].z);
a[++num]=a[i];
if(++k==n) break;
}
dfs(1);
for(int j=1,p=log2(n);j<=p;j++)
for(int i=1;i<=n;i++)
{
fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
g[i][j]=max(g[fa[i][j-1]][j-1],g[i][j-1]);
}
}
}
return 0;
} Code（Link-Cut-Tree）
#include();
a[i]=(data){x,y};
key[mx[++tot]=tot]=z;
if(get(x)^get(y)) link(tot,x),link(tot,y); else
{
mkroot(x),access(y),splay(y);
int del=mx[y];
if(zint q=read<int>();
while(q--)
{
char ch=getchar();
while(ch^'g' && ch^'d') ch=getchar();
if(ch=='g')
{
LL ans=0;
for(int i=1;i<=k;i++)
{
int x=read<int>(),y=read<int>();
mkroot(x),access(y),splay(y);
ans^=key[mx[y]];
}
puts(ans?"madoka":"Baozika");
}else
{
int x=read<int>(),y=read<int>();
LL z=read();
a[++m]=(data){x,y};
key[mx[++tot]=tot]=z;
if(get(x)^get(y)) link(tot,x),link(tot,y); else
{
mkroot(x),access(y),splay(y);
int del=mx[y];
if(zreturn 0;
}