题解 - CF1197D Yet Another Subarray Problem

$\mathrm{C}\mathrm{F}1197\mathrm{D}\mathrm{Y}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}$ 题解

题目意思

• 就是给你一个序列$a$，以及$m,k$，定义区间$[l,r]$的权值为$\sum a_i-k\times \lceil \frac{r-l+1}{m}\rceil$
• 求那个区间权值最值
• $n\le 3\times 10^5,m\le 10,k\le 10^9$

$\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}$

• 一看$m$就知道和$m$有关。这道题目有两种方法我都仔细讲一下。

  $\mathrm{S}\mathrm{o}{\mathrm{l}}_1$

  • 考虑$DP$，设$f_{i,j}$表示到$i$连续取得个数$s\%m=j$的最大值
  • 考虑转移
    • 若$j=0$显然是从上一段转移过来，所以转移显然$f_{i,j}=\max (0,f_{i-1,m-1})$
    • 若$j=1$显然就是重开一段，那么转移就是$f_{i,j}=f_{i-1,0}-k+a_i$，因为重开一段要减去$m$（后面就不用减了）再加上自己的权值$a_i$
    • 其余情况：$f_{i,j}=\max (f_{i-1,j-1}+a_i)$
  • 答案就是$\max f_{i,j}$
  • 但是这种方法要特判$m=1$的情况（这个就很简单了）
  • 复杂度$\mathrm{O}(\mathrm{n}\times \mathrm{m})$

  $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mathrm{e}}_1$

  #include 
  #define pb push_back
  #define int long long
  using namespace std;
  
  inline int read()
  {
         
  	int sum=0,ff=1; char ch=getchar();
  	while(!isdigit(ch))
  	{
         
  		if(ch=='-') ff=-1;
  		ch=getchar();
  	}
  	while(isdigit(ch))
  		sum=sum*10+(ch^48),ch=getchar();
  	return sum*ff;
  }
  
  const int N=3e5+5;
  
  int n,m,s,ans=-1e12,a[N],f[N][11];
  
  signed main()
  {
         
  	n=read();
  	m=read();
  	s=read();
  	for ( int i=1;i<=n;i++ ) a[i]=read();
  	if(m==1)
  	{
         
  		int tot=0;
  		for ( int i=1;i<=n;i++ )
  		{
         
  			tot+=a[i]-s;
  			ans=max(ans,tot);
  			tot=max(tot,0ll);
  		}
  		printf("%lld\n",max(0ll,ans));
  		return 0;
  	}
  	memset(f,128,sizeof f);
  	for ( int i=0;i<=n;i++ ) f[i][0]=0;
  	for ( int i=1;i<=n;i++ )  
  		for ( int j=0;j<=min(i,m-1);j++ ) 
  		{
         
  			if(j==1) 
  				f[i][j]=f[i-1][0]+a[i]-s;
  			else if(!j) f[i][j]=max(0ll,f[i-1][m-1]+a[i]);
  			else 
  				f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+a[i]);
  			ans=max(ans,f[i][j]);
  		}
  	printf("%lld\n",ans);
  	return 0;
  }
  

  $\mathrm{S}\mathrm{o}{\mathrm{l}}_2$

  • 我们还是考虑和$m$有关
  • 我们枚举从哪个数（假设$p$)开始，那么对于后面的数$a_i,a_{i+m\times k}$都要减去$s$，那么$su{m}_i=\sum a_i-s((i-p)\%m=0)$
  • 然后对于每个$p+m\times k$去更新答案，我们设$su{f}_i={\max }_{i=l}^{n}su{m}_i$
  • 那么最大值就是$su{f}_i-su{m}_{i-1}$
  • 复杂度$\mathrm{O}(\mathrm{n}\times \mathrm{m})$
  • 代码没写过，就不放了（主流算法还是这个）