无穷小微积分与考研实践

五年前，2012年12月29日，老翁发表一篇博文，题为“无穷小微积分与考研”，效果甚佳。

五年后的今天，无穷小微积分阔步互联网，极限论退缩不前。

2017年考研学子238万，其中40%是工科考生。

今天开考，重新发表此文，供读者参考。

袁萌  12月233日

该文全文如下：

昨日，在新东方网站上找来”2011年考研数学答案及真题解析”研读一番，有感。

大家知道，研究生考试是国家级考试，统一命题，具有一定的权威性。学习J. Keisler的无穷小微积分对考研也没有帮助？根据何在？实际上，考研的数学试题共有三套：数学（一），数学阿（二）与数学（三）。每套题目都有三个组成部分：选择题，填空题与解答题，共计20个小题目，每题均注明得分数。

仔细观察数学（三）试题，概念性要求较强，解答题相对难一些。这种考题反而很对J. Keisler学生的“胃口”，回答起来比较顺手。函数的极限及其连续性，序列与级数，微分与积分，包括多重积分以及微分方程的考试题目应该说“没有出圈”，不是冷题、生题，学习无穷小微积分的考生应该（全部）会做。但是，涉及矩阵以及初等概率的试题已经超出无穷小微积分教材的范围，这是客观事实。

无穷小方法不适合概率论吗？非也。事实完全相反。无穷小方法特别适合随即现象的分析，只是J. Keisler在《初等微积分》教材中没有涉及到这部分内容把罢。实际上，无穷小方法在线性赋范空间方面早有研究成果（1965年）出现。我认为，把线性代数与概率论搬到超实数系*R上是”举手之劳“，轻而易举之事。数理逻辑模型论的潜力不可低估。

针对上述情况（国家研究生考试），我在想一个问题：将微积分普及教育网站“iCalculus”改名为“iMath”也许更为合适一些，将网站内容再扩大一些，免除考研者之忧虑。仔细想来，开通微积分普及教育网站，要想取得较好的实际效果，比如做的”中英对照“，等等，工作量还有不少要做。但是，网站开通必须尽快，这是不能含糊的事情。


关于网站建设，年后我准备找一些有关人士沟通、商量一下，打算找中国数学会有关领导（北京大学数学科学系）汇报一下情况，尽量得到他们的理解与支持。有人觉得无穷小微积分很“玄”，不靠谱。听起来也许很玄，但是，翻来J. Keisler的《初等微积分》电子版，一行一行地研读下去，你很快就会明白，事情远不是想像中的那个样子。我敢说，J. Keisler的《初等微积分》教材绝对比国内同济大学的《高等数学》教材易读易懂，一定会受到广大同学们的喜爱。


前天中午，我回中国人民大学学生食堂吃午饭，仔细端详坐在我对面的一位女学生在吃饭（似乎有点不礼貌），样子很天真、有点儿”稚气“。我问她，你们学习数学吗？她对我说：学啊，很难学。......我愿意与同学们相处，而不愿意与电子产品销售员交朋友，他们老是向我推荐小米手机，......


（全文完）