熵值法与TOPSIS法以及两者结合
一、熵值法
熵值法的主要目的是对指标体系进行赋权
熵越大说明系统越混乱，携带的信息越少，权重越小；熵越小说明系统越有序，携带的信息越多，权重越大。
熵值法是一种客观赋权方法，借鉴了信息熵思想，它通过计算指标的信息熵，根据指标的相对变化程度对系统整体的影响来决定指标的权重，即根据各个指标标志值的差异程度来进行赋权，从而得出各个指标相应的权重，相对变化程度大的指标具有较大的权重。
步骤
（1）原始数据的收集与整理
假设有m个待评价样本，n项评价指标，形成原始指标数据矩阵：
X = ( x 11 . . . x 1 n ⋮ ⋱ ⋮ x m 1 ⋯ x m n ) X=\left( \begin{matrix} x_{11}& ...& x_{1n}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ x_{m1}& \cdots& x_{mn}\\ \end{matrix} \right) X=⎝⎜⎛x11⋮xm1...⋱⋯x1n⋮xmn⎠⎟⎞
其中 X i j X_{ij} Xij 表示第 i 个样本第 j 项评价指标的数值。
对于某项指标 X j X_j Xj，样本的离散程度越大，则该指标在综合评价中所起的作用就越大。如果该指标的标志值全部相等，则表示该指标在综合评价中不起作用。
例如：
| 语文 | 数学 | 英语 | 音乐 | |
|---|---|---|---|---|
| 张三 | 50 | 44 | 85 | 90 |
| 李四 | 33 | 74 | 20 | 78 |
| 王五 | 46 | 38 | 88 | 10 |
| 陈六 | 65 | 45 | 98 | 51 |
| 杨七 | 13 | 65 | 12 | 45 |
或者
| GDP | 就业人数 | 财政支出 | 人均可支配收入 | |
|---|---|---|---|---|
| 北京 | xx | xx | xx | xx |
| 上海 | xx | xx | xx | xx |
| 广州 | xx | xx | xx | xx |
| 深圳 | xx | xx | xx | xx |
（2）数据处理
为消除因量纲不同对评价结果的影响，需要对各指标进行归一化或者标准化处理。
归一化处理：
若所用指标的值越大越好（正向指标:）
x i j ′ = x j − x min x max − x min x'_{ij}=\frac{x_j-x_{\min}}{x_{\max}-x_{\min}} xij′=xmax−xminxj−xmin
若所用指标的值越小越好（负向指标:）
x i j ′ = x max − x j x max − x min x'_{ij}=\frac{x_{\max}-x_j}{x_{\max}-x_{\min}} xij′=xmax−xminxmax−xj
其中 x j x_j xj为第 j 项指标值， x m a x x_{max} xmax为第 j 项指标的最大值， x m i n x_{min} xmin为第 j 项指标的最小值。
或者标准化处理：
x i j ′ = x i j − x ˉ j S j x'_{ij}=\frac{x_{ij}-\bar{x}_j}{S_j} xij′=Sjxij−xˉj
（3）计算比重
计算第 j 个指标中，第 i 个样本标志值的比重：
p i j = x i j ∑ i m x i j ， 0 ≤ p i j ≤ 1 p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_i^m{x_{ij}}}\,\,\,\,\,\,\text{，}0\le p_{ij}\le 1 pij=∑imxijxij，0≤pij≤1
此，可以建立数据的比重矩阵
P = ( p 11 . . . p 1 n ⋮ ⋱ ⋮ p m 1 ⋯ p m n ) P=\left( \begin{matrix} p_{11}& ...& p_{1n}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ p_{m1}& \cdots& p_{mn}\\ \end{matrix} \right) P=⎝⎜⎛p11⋮pm1...⋱⋯p1n⋮pmn⎠⎟⎞
（4） 计算第 j 个指标的熵值
e j = − k ∑ i m p i j ln p i j e_j=-k\sum_i^m{p_{ij}}\ln p_{ij} ej=−ki∑mpijlnpij
其中，常数
k > 0 ， k = 1 ln m k>0\text{，}k=\frac{1}{\ln m} k>0，k=lnm1
保证 0 ≤ e j ≤ 1 0\le e_j\le 1 0≤ej≤1，即 e j e_j ej最大为1
所以，第 j 个指标的熵值为
e j = − 1 ln m ∑ i m p i j ln p i j e_j=-\frac{1}{\ln m}\sum_i^m{p_{ij}}\ln p_{ij} ej=−lnm1i∑mpijlnpij
（5）定义第 j 个指标的差异程度
熵值法根据各个指标标志值的差异程度来进行赋权，从而得出各个指标相应的权重
d j = 1 − e j d_j=1-e_j dj=1−ej
（6）定义权重
w j = d j ∑ j = 1 n d j w_j=\frac{d_j}{\sum_{j=1}^n{d_j}} wj=∑j=1ndjdj
（7）进行综合评价
F i = ∑ j = 1 n w j p i j F_i=\sum_{j=1}^n{w_jp_{ij}} Fi=j=1∑nwjpij
其中 F i F_i Fi第 i 个待评价样本的综合评价值
| 语文 | 数学 | 英语 | 音乐 | 综合评价值F | |
|---|---|---|---|---|---|
| 张三 | 50 | 44 | 85 | 90 | F 1 F_1 F1 |
| 李四 | 33 | 74 | 20 | 78 | F 2 F_2 F2 |
| 王五 | 46 | 38 | 88 | 10 | F 3 F_3 F3 |
| 陈六 | 65 | 45 | 98 | 51 | F 4 F_4 F4 |
| 杨七 | 13 | 65 | 12 | 45 | F 5 F_5 F5 |
二、TOPSIS法
TOPSIS是通过逼近理想解的程度来评估各个样本的优劣等级
TOPSIS法的基本原理
在归一化后的原始数据矩阵中，找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算评价对象与最优方案和最劣方案之间的距离，并以此作为依据来评价样本的优劣等级。
基本步骤
假设有n个待评价样本，p项评价指标，形成原始指标数据矩阵：
X = ( x 11 . . . x 1 p ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 ⋯ x n p ) X=\left( \begin{matrix} x_{11}& ...& x_{1p}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ x_{n1}& \cdots& x_{np}\\ \end{matrix} \right) X=⎝⎜⎛x11⋮xn1...⋱⋯x1p⋮xnp⎠⎟⎞
（1）数据预处理
-
.使指标具有同趋势性。评价指标中有正向指标和负向指标之分，一般把负向指标转化为正向指标，转化的方法可采用倒数法（即1/X），多适用于绝对数指标；差值法（即1-X），多适用于相对数指标。转化后的数据矩阵仍记为X。
-
.数据无量纲化.。将原始数据归一化，以消除量纲向量数据归一化的方式：
z i j = x i j ∑ i x i j 2 z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_i^{}{x_{ij}^2}}} zij=∑ixij2xij
最终得到分析数据矩阵
Z = ( z 11 z 12 ⋯ z 1 p z 21 z 22 ⋯ z 2 p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 z n 2 ⋯ z n p ) Z=\left( \begin{matrix} z_{11}& z_{12}& \cdots& z_{1p}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots& z_{2p}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ z_{n1}& z_{n2}& \cdots& z_{np}\\ \end{matrix} \right) Z=⎝⎜⎜⎜⎛z11z21⋮zn1z12z22⋮zn2⋯⋯⋱⋯z1pz2p⋮znp⎠⎟⎟⎟⎞
（2）寻找最优值和最劣值
找出各项指标的最优值和最劣值，建立最优值向量 z + z^+ z+和最劣值向量 z − z^- z−
z + = max n j ( z 1 + , z 2 + , ⋯ , z p + ) z^+=\underset{n\ \ j}{\max}\left( z_1^+,z_2^+,\cdots ,z_p^+ \right) z+=n jmax(z1+,z2+,⋯,zp+)
z − = min n j ( z 1 − , z 2 − , ⋯ , z p − ) z^-=\underset{n\ \ j}{\min}\left( z_1^-,z_2^-,\cdots ,z_p^- \right) z−=n jmin(z1−,z2−,⋯,zp−)
（3）计算各个评价对象与最优值和最劣值之间的距离
D i + = ∑ j ( z i j − z j + ) 2 D_i^+=\sqrt{\sum_j^{}{\left( z_{ij}-z_j^+ \right) ^2}} Di+=j∑(zij−zj+)2
D i − = ∑ j ( z i j − z j − ) 2 D_i^-=\sqrt{\sum_j^{}{\left( z_{ij}-z_j^- \right) ^2}} Di−=j∑(zij−zj−)2
（4）计算各个评价指标与最优值的相对接近度
C i = D i − D i + + D i − C_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-} Ci=Di++Di−Di−
（5）排序
根据 C i C_i Ci的大小进行排序， C i C_i Ci越大，表明评价对象越接近最优值。
三、熵值法 + TOPSIS法
.
可以结合熵值法 和 TOPSIS法各自的特点，进行评价。
假设有n个待评价样本，p项评价指标，形成原始指标数据矩阵：
X = ( x 11 . . . x 1 p ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 ⋯ x n p ) X=\left( \begin{matrix} x_{11}& ...& x_{1p}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ x_{n1}& \cdots& x_{np}\\ \end{matrix} \right) X=⎝⎜⎛x11⋮xn1...⋱⋯x1p⋮xnp⎠⎟⎞
其中 X i j X_{ij} Xij 表示第 i 个样本第 j 项评价指标的数值。
（1）求比值
p i j = x i j ∑ i = 1 n x i j p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^n{x_{ij}}} pij=∑i=1nxijxij
（2）求熵值
e j = − 1 ln n ∑ i = 1 n p i j ln p i j ， e j ∈ [ 0 , 1 ] e_j=-\frac{1}{\ln n}\sum_{i=1}^n{p_{ij}\ln p_{ij}}\ \ \text{，}e_j\in \left[ 0,1 \right] ej=−lnn1i=1∑npijlnpij ，ej∈[0,1]
（3）信息冗余值
d j = 1 − e j d_j=1-e_j dj=1−ej
（4）定权
w j = d j ∑ j = 1 p d j w_j=\frac{d_j}{\sum_{j=1}^p{d_j}} wj=∑j=1pdjdj
（5）归一化 （向量标准化）
z i j = x i j ∑ i = 1 n x i j 2 z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_{ij}^2}}} zij=∑i=1nxij2xij
（6）构造加权矩阵
z i j ∗ = z i j ⋅ w j z_{ij}^*=z_{ij}\cdot w_j zij∗=zij⋅wj
得到加权矩阵
Z ∗ = [ z 11 ⋅ w 1 z 12 ⋅ w 2 ⋯ z 1 p ⋅ w p z 21 ⋅ w 1 z 22 ⋅ w 2 ⋯ z 2 p ⋅ w p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 ⋅ w 1 z n 2 ⋅ w 2 ⋯ z n p ⋅ w p ] Z^*=\left[ \begin{matrix} z_{11}\cdot w_1& z_{12}\cdot w_2& \cdots& z_{1p}\cdot w_p\\ z_{21}\cdot w_1& z_{22}\cdot w_2& \cdots& z_{2p}\cdot w_p\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ z_{n1}\cdot w_1& z_{n2}\cdot w_2& \cdots& z_{np}\cdot w_p\\ \end{matrix} \right] Z∗=⎣⎢⎢⎢⎡z11⋅w1z21⋅w1⋮zn1⋅w1z12⋅w2z22⋅w2⋮zn2⋅w2⋯⋯⋱⋯z1p⋅wpz2p⋅wp⋮znp⋅wp⎦⎥⎥⎥⎤
（7）寻找最优、最劣方案
{ z i j ∗ + = max n , p ( z 1 ∗ + , z 2 ∗ + , ⋯ , z p ∗ + ) z i j ∗ − = min n , p ( z 1 ∗ − , z 2 ∗ − , ⋯ , z p ∗ − ) \left\{ \begin{array}{l} z_{ij}^{*+}=\underset{n,p}{\max}\left( z_1^{*+},z_2^{*+},\cdots ,z_p^{*+} \right)\\ \\ z_{ij}^{*-}=\underset{n,p}{\min}\left( z_1^{*-},z_2^{*-},\cdots ,z_p^{*-} \right)\\ \end{array} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧zij∗+=n,pmax(z1∗+,z2∗+,⋯,zp∗+)zij∗−=n,pmin(z1∗−,z2∗−,⋯,zp∗−)
（8）最优、最劣距离
D i + = ∑ j ( z i j ∗ − z j ∗ + ) 2 D_i^+=\sqrt{\sum_j^{}{\left( z_{ij}^*-z_j^{*+} \right) ^2}} Di+=j∑(zij∗−zj∗+)2
D i − = ∑ j ( z i j ∗ − z j ∗ − ) 2 D_i^-=\sqrt{\sum_j^{}{\left( z_{ij}^*-z_j^{*-} \right) ^2}} Di−=j∑(zij∗−zj∗−)2
（9）构造相对接近度
C i = D i − D i + + D i − C_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-} Ci=Di++Di−Di−
（10）排序
根据 C i C_i Ci的大小进行排序， C i C_i Ci越大，表明评价对象越接近最优值。