整数规划求解有向图最短路径问题环路解决方法

整数规划求解有向图最短路径问题环路解决方法

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在有向图中，经常遇到给定起点和终点以及必经点，选择一条权重最小的路径这样的问题。这种问题可以看做是旅行商问题（tsp）的变种，tsp问题是一种组合爆炸问题，当规模变大时，时间耗费十分巨大。

在数学上tsp可以使用整数规划求解，通过求解最小值问题得出需要的路径， 其正确性通过添加约束来保证的。

图问题不可避免的遇到环路问题，解决环路问题在规模比较小的时候，可以通过遍历图中所有节点，寻找出所有环路，对环路添加约束，进行求解，此方法一定能够得到最优解。但是随着图的规模变大，不可能把所有环路全部得出。

问题描述

给定一个带权有向图，起点，终点和必经节点子集，寻找从起点到终点的一条最短路径，此路经必须经过必经节点子集，必经节点子集部分顺序。

求解方法

整数规划，第三方库lpsolve

数学描述

设有向边为{ x0 , x1 , x2 , ... , xn }, 权重为{ w0 , w1 , w2 , ... , wn }

min∑ixi∗wi

s.t.

xbeginoutdegree=1

xbeginindegree=0

xendoutdegree=0

xendindegree=1

xnecessitynodeoutdegree=1

xnecessitynodeindegree=1

xnon−necessitynodeoutdegree<=1

xnon−necessitynodeindegree<=1

环路问题

1. 对于寻路问题不可避免的存在环路，由于以上约束只是充分条件，环路的约束未添加，当使用整数规划求解最小值，其解空间中很有可能得到带有环路
   tsp要求所有节点必须经过，其去环约束是：

   将环路所在的子集中所有对外节点的入和对外节点的出都大于等于1

2. 在此问题中可以借鉴tsp环路解决方案。此方案的等价方案是：

   构成环路的所有边的数量小于等于边数量-1,即构成环路的边不能同时存在

3. 以上是针对环路添加的约束，如果运行时间 不限制，以上破环方法总能找到最优解。

考虑到运行时间受限时，以上算法去环后，下一个环路很有可能就在上一个环路附近加入一个点构成新的环路，而通路节点不变，若给通路也加入约束时，就可以进一步缩小解空间，通路约束可以添加为：

通路中所有边的数量小于边数量-1，即每次都要在通路中加入新的节点

通过以上约束，将会减小解空间，加快收敛速度，针对环路不是很多的情况运行时间都在1s内，就可以求出最优路径。

1. 然而，当环路中小环路比较多时，同构以上约束同样很难在段时间内求解出最优解，需要进一步缩小解空间，其思路可以是：

尽量多的利用环路的先验知识，尽可能多的破除环路，同理，尽量多的利用通路的先验知识，破除尽量多的不可能的通路。

当环路附近有很多小环路：

当通路附近有许多小通路：

针对以上情况可以采取一下策略：

1. 用整数规划求解出带有环路的解；
2. 加入环路约束和通路约束；
3. 遍历环路节点附近的节点，如果可以和环路构成环路，添加约束；
4. 遍历通路附近的节点，如能构成通路，加入约束。

以上策略可用于破除环路和通路附近的小环和小通路。防止下一次求解在原地构成环路，但是其遍历也是非常耗时的操作，需要衡量时间，选择遍历层数。

在程序运行过程中，最耗时的是lp求解部分，若能减少lp求解次数，能够极大地提高收敛速度，而减少lp求解次数，可以在预处理时就，加入一些环路约束,其过程如下：

对起点，终点和必经节点进行一定层数的遍历，若有环路存在，就加入到约束中，在程序中试过7层遍历，前提是遍历时间复杂度是 O(n) ，耗时很短，若在7层以上时，其耗时的代价就不会取得好的效果。

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以上添加的约束基本上就包含了所有的环路优化策略，但是当环路如下图所示时，整数规划将会失去其求解优势,尤其是权重都为0,或很小的值时，还是暴力搜索，收敛速度快。

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以上仅为个人见解，欢迎指正。