计算几何---判断点是否在线段上

判断点是否在线段上：

给定一点Q(a,b),和线段M的首尾两个端点P1(X1,Y1),P2(X2,Y2),要求判断点Q否在线段M上；
                        (为了方便理解,这里我们就认为X1>X2,Y1>Y2)
看到这个题，我们说先会想到的肯定是判断该点是否在线段的范围内，如果不在，肯定在线段上。
所以我们首先应该保证：X2<=a<=X1 &&  Y2<=b<=Y1
这样点Q就在以P1，P2为首位的矩形内，我们就排除了Q在M的延长线上的可能。
然后判断点是否在线段上。

学过高数就知道有叉积这个东西。。。

思想：

如果想判断一个点是否在线段上，那么要满足以下两个条件：

（1）（Q - P1） * （P2 - P1）= 0；

（2）Q在以P1，P2为对角顶点的矩形内；

第一点通俗点理解就是要求Q、P1、P2三点共线；当第一个满足后，就应该考虑是否会出现Q在P1P2延长线或反向延长线这种情况。此时第二个条件就对Q点的横纵坐标进行了限制，要求横纵坐标要在P1P2两点的最小值和最大值之间，也就是说保证了Q在P1P2之间。

叉积的结果还是一个向量，二维向量的叉积是垂直于两个向量形成的平面的一个向量。这行公式实际上求的是标量。

参考代码：

#include 
#include 
#include
using namespace std;

struct point
{
    double x;
    double y;
};

bool onSegment(point Pi , point Pj , point Q)
{
    if((Q.x - Pi.x) * (Pj.y - Pi.y) == (Pj.x - Pi.x) * (Q.y - Pi.y)  //叉乘 
       //保证Q点坐标在pi,pj之间 
       && min(Pi.x , Pj.x) <= Q.x && Q.x <= max(Pi.x , Pj.x)    
       && min(Pi.y , Pj.y) <= Q.y && Q.y <= max(Pi.y , Pj.y))
        return true;
    else
        return false;
}

int main()
{
    point p1 , p2 , q;
    cin >> p1.x >> p1.y;
    cin >> p2.x >> p2.y;
    cin >> q.x >> q.y;
    if(onSegment(p1 , p2 , q))
        cout << "Q点在线段P1P2内" << endl;
    else
        cout << "Q点不在线段P1P2内" << endl;
}



/*
1 0
4 0
3 0
Q点在线段P1P2内
*/

/*
1 0
4 0
5 0
Q点不在线段P1P2内
*/

/*
1 0
4 0
1 1
Q点不在线段P1P2内
*/

/*
0 0
0 0
0 0
Q点在线段P1P2内
*/

/*
0 0 
0 0
1 0
Q点不在线段P1P2内
*/

叉乘的思路就是：

                 (Q-P1)×(P1-P2)==0?Yes:No

叉积公式： a×b=|a||b|sin<a,b>.

#include
int main()
{
	double a,b,x1,x2,y1,y2;
	scanf("%lf%lf",&a,&b);          //Q(a,b)
	scanf("%lf%lf",&x1,&y1);        //P1(x1,y1)
	scanf("%lf%lf",&x2,&y2);        //P2(x2,y2)
	double s1=a-x1, t1=b-y1;        //Q-P1(s1,t1)
	double s2=x1-x2,t2=y1-y2;       //P1-P2(s2,t2)
	puts((s1*t2-t1*s2)==0?"Yes":"No");        //二维点的叉乘x1*y2-x2*y1
	return 0;
}

矢量叉积的知识：

设矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2, y2 )，则矢量叉积定义为由(0,0)、p1、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号

的面积，即：P × Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个标量。显然有性质 P × Q = - ( Q × P ) 和 P × ( - Q )

 = - ( P × Q )。一般在不加说明的情况下，本文下述算法中所有的点都看作矢量，两点的加减法就是矢量相加减，而点的乘法则看作矢量叉积。

叉积的一个非常重要性质是可以通过它的符号判断两矢量相互之间的顺逆时针关系：

　　若 P × Q > 0 , 则Q在P的逆时针方向。
　　若 P × Q < 0 , 则Q在P的顺时针方向。
　　若 P × Q = 0 , 则P与Q共线，但可能同向也可能反向。