二项式反演&斯特林数&斯特林反演 学习笔记

二项式反演

从错排数讲起，

考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。

用容斥来解决这个问题，不难发现错排数即为

g(n)=∑i=1n(−1)i(ni)(n−i)!

考虑二项式定理，

(1−1)n=∑i=0n(−1)i(ni)=0

上式当n=0时值为1，所以有

∑i=0n(−1)i(ni)=[n=0]（∗式）

设n个元素排列数f(n)=n!，则显然有

f(n)=∑i=0n(ni)g(i)

将g(n)换一下形式有

g(n)=∑i=0n[n−i=0](ni)g(i)

将*式代入，有

g(n)=∑i=0n∑j=0n−i(−1)j(n−ij)(ni)g(i)

注意到

(n−ij)(ni)=(nj)(n−ji)

所以，有

g(n)=∑i=0n∑j=0n−i(−1)j(nj)(n−ji)g(i)

交换求和顺序，

g(n)=∑j=0n−i(−1)j(nj)∑i=0n(n−ji)g(i)

注意到右边是f()的形式

g(n)=∑i=0n(−1)i(ni)f(n−i)

换一下下标

g(n)=∑i=0n(−1)n−i(ni)f(i)

这就是二项式反演：

若 f(n)=∑ni=0(ni)g(i)
则 g(n)=∑ni=0(−1)n−i(ni)f(i)

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斯特林数

第一类斯特林数：
留坑待填
第二类斯特林数：

n个不同的元素拆分成m个集合的方案数

记为 {nm}
递推公式（枚举最后一个元素转移）： {nm} = {n−1m−1} +m* {n−1m}
通项公式：
注意到 kn=∑km=0Amk{nm} （n个不同的元素拆分成m个集合的方案数，允许空集）
则有

kn=∑m=0k(km)m!{nm}

使用二项式反演，则有

m!{nm}=∑k=0m(−1)m−k(mk)kn

整理后得到

{nm}=1m!∑k=0m(−1)k(mk)(m−k)n

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斯特林反演

留坑待填