算法1-1： 统计数字问题

(1)、问题描述
一本书的页码从自然数1 开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编排，每个页码都不含多余的前导数字0。例如，第6 页用数字6 表示，而不是06 或006 等。数字计数问题要求对给定书的总页码n，计算出书的全部页码中分别用到多少次数字0，1， 2，…，9。
(2)、算法设计
给定表示书的总页码的10 进制整数n (1≤n≤10 ) 。编程计算书的全部页码中分别用到多少次数字0，1，2，…，9。
 

书上要求的是文件操作：

样例输入： 
11 
样例输出： 
1 
4 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 

思路

1. 求长度（位数）
    
2. 拆分区间，统计除最高位数字外，其余位造成的影响
   
   以666为例，区间划分为000-099、100-199、... 500-599，共6个区间
   每个区间除去最高位，0-9出现次数为：(len-1)*10^(len-2)
   区间数可以归纳出来为最高位的数 hightest ：n/(10^(len-1))
   所以，0-9数字的总数目为： hightest **(len-1)*10^(len-2)
    
3. 最高位的各数字造成的影响
   
   0：000-099，10^2个
   1：100-199，10^2个
   ...
   6：600-666，（66+1）个
   归纳一下：最后一个数为除去最高位的数+1，其它数为10^(len-1)
    
4. 除去最高位后余下的数，进行递归

   处理 secondPart 
   (1)若secondPart 为0，比如200，此时c[0]要加len-1也就是2，然后结束递归.
   (2)若secondPart 不为0，若len_secondPart != len-1则是类似2002的情况，中间两个0要进行处理，
        countNumber[0] += (len - len_secondPart - 1)*(secondPart + 1);

5. 在函数外边把多加上的0减掉
   
   因为0开头的数字这里是不允许的，000-099这一块多算了好多0，所以要减去，即减去0开头的情况，
   有 10^0+10^1+...+10^len 个，类似于直角三角形，以3位数为例：   
   

 

 

实现

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int countNumber[10] = { 0 };	//记录每个数字出现位数

void counter(int n)
{
	/*
	while (n % 10 != 0)	//求位数len，实际上用的是len-1，例如666拆分：00-99，100-199,...
	{
	len++;
	tempn /= 10;
	}
	int i = 0;
	for (i = 0; i < len - 1; i++)	//求最高位是几
	{
	highest /= 10;
	}
	*/

	//求位数len
	int len = log10(n) + 1;
	//求最高位是几
	int highest = n / ((int)round(pow(10.0, len - 1)));

	//拆分区间，计算除最高位外造成的影响
	for (int i = 0; i < 10; i++)
	{
		countNumber[i] += highest*(len - 1)*(int)round(pow(10.0, len - 2));
	}

	//最高位造成的影响
	for (int i = 0; i < highest; i++)
	{
		countNumber[i] += (int)round(pow(10.0, len - 1));
	}
	int temp = (int)round(pow(10.0, len - 1));
	int secondPart = n%temp;
	if (secondPart == 0)
	{
		countNumber[highest] += 1;
		countNumber[0] += len - 1;
		return;
	}
	else
	{
		int len_secondPart = log10(secondPart) + 1;
		if (len_secondPart != len - 1)	//处理201，2001...中间有0的情况，要把0出现的次数加上，因为递归不会额外计算
		{
			countNumber[0] += (len - len_secondPart - 1)*(secondPart + 1);
			//先算出来有几个0，再对0进行统计
		}
		countNumber[highest] += secondPart + 1;		//最高位最大数字的处理

		//递归计算除去最高位后剩下的数
		return counter(secondPart);
	}
}


int main()
{
	int n;
	ifstream input;
	input.open("G://a.txt");
	ofstream output;
	output.open("G://b.txt");
	input >> n;

	counter(n);
	int len = log10(n) + 1;
	for (int i = 0; i < len; i++)
	{
		countNumber[0] -= (int)round(pow(10.0, i));	//因为多加了，所以要减掉
	}

	//输出
	for (int i = 0; i < 10; i++)
	{
		output << countNumber[i] << endl;
	}

	output.close();
	input.close();
	return 0;
}

 

我的错误想法

死胡同：不把一个数字拆分，而去直接利用公式进行递归，但是这个公式只适用于全是9的情况，公式如下：