《算法竞赛入门经典》-【第七章：暴力求解法】-7.3：子集生成

一、问题

给定有n个不重复元素的集合P，打印出其所有子集。

 

二、思路

还是使用最有效最简单的方式：简化和特例。假设集合为{1，2，3，4}，仍然把所有的子集分为4组：

a. 含有1的所有子集

1

1 2

1 2 3

1 2 3 4

1 2 4

1 3 

1 3 4

1 4

b. 不含1但是有2的所有子集

2

2 3

2 3 4

2 4

c. 不含1，2但是有3的所有子集

3

3 4

d. 不含1，2，3但是含有4的子集

4

 

我们是如何不重复不遗漏地列出了所有的子集的呢？我们的做法是：对于集合中每一个数字i，列出包含i和比i位置靠后的元素的子集S(i)。而列出包含i和比i位置靠后的元素的子集又是怎样实现的呢？从我们列的方式可以看出，S(i)=i+S(i+1)（即先放入i，再放入S(i+1)的每个子集，构成的集合就是S(i)）

可以看出与7.2中的问题很类似，也可以通过递归的方式来解决，不同点在于：

a. 不是排列，所以没有顺序的要求，{1,2}和{2,1}是重复的子集

b. 结果集的长短为0~n，而不像7.2中全是n

 

三、代码

1. 伪代码

outIndex：当前步数

inIndex: 输入集合p中取数的位置

outputArr：当前已经存放了outIndex个数字的数组

不变逻辑：

a. 打印出outputArr的前outIndex个数字

b. 对于inIndex~n中的每个数字，放入outputArr，outIndex++，inIndex++，进入下一步。

递归边界：inIndex == n

 

2. 代码

public class Subset {

	private static Integer[] input = { 1, 2, 3, 4 };

	// Used for subset
	private static Integer[] outputArr = new Integer[4];

	private static void subset(int outIndex, int inIndex) {
		// 打印当前子集
		for (int i = 0; i < outIndex; i++) {
			if (null != outputArr[i]) {
				System.out.print(outputArr[i]);
				System.out.print(" ");
			}
		}
		System.out.println();

		// 确定输入集合的取值开始范围
		int index = outIndex > 0 ? inIndex : 0;

		// 对于集合中每一个数字input[i]，列出包含input[i]和比i位置靠后的元素的子集S(i)
		for (int i = index; i < input.length; i++) {
			
			//S(i)=i+S(i+1)（即先放入i，再放入S(i+1)的每个子集，构成的集合就是S(i)）
			outputArr[outIndex] = input[i]; // 放入第i个元素
			subset(outIndex + 1, i + 1); // 生成从第i+1个元素开始的子集
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		subset(0, 0);
	}
}

 

 

四、总结

四个部分中，最重要的一定是第二部分。在这一部分中，我的想法是一步步记录下解决问题过程中思路，而不是像很多书籍上那样直接告诉读者应该采用的方法。因为绝大部分人既非经验丰富，也非天资过人。正常人一定是不断地思考，不断地尝试，不断地纠正自己，才能找到最终的答案。在这个过程当中，有三类问题的出现是很常见的：

1. 出现错误，例如没有考虑到特殊情况，没有搞清楚约束条件等等。

2. 没有错误，但是方法不够好，或者是速度太慢，或者是空间消耗太大。

3. 完全没有思路。或者不知道题目的意思，或者知道如何在人脑中解决，但是无法变成计算机能实现的代码，或者完全不知如何下手。

 

与天冷就加衣，肚子饿就吃饭这些立竿见影的解决方法不同，解决这三类问题的方法要复杂的多，它更像武功修炼的过程。

1. 先练挨打。必须先体会这三类问题，首先是亲身去遭遇这些问题，然后达到能分辨这些问题的类型，并能找出类似的问题。

2. 学习招式。必须总结出不同的问题的类型，知道不同类型的问题的对策是什么，理解这样做的本质。

3. 夏练三伏，冬练三九。不断地练习，不断地重复过程：分析问题，联想类似的问题，确定问题类型，尝试对应的对策，修正对策，解决问题。

4. 无招胜有招。不断地规范化自己的思考过程，找出其中的Best Practise，最终形成成功模式，才能保证举一反三，乃至于升华和创新。最终把3中的过程变成了头脑的自然反应，秒杀问题。