乘法逆元(对于质数模数的乘法逆元)

逆元是什么

• 设S为一有二元运算 * 的集合。若e为(S,*)的单位元且a*b=e，则a称为b的左逆元素且b称为a的右逆元素。若一元素x同时是y的左逆元素和右逆元素时，x称为y的两面逆元素或简称为逆元素。S内的一有两面逆元素的元素被称为在S内为可逆的。
• 直观地说，它是一个可以取消另一给定元素运算的元素。

乘法逆元

• 也就是说，对于一个乘法运算∗b，它的乘法逆元就是它的倒数 b−1 。

分数取模

• 然而在很多题目中，数据都是十分大的，所以题目经常会出现”答案模Ha”，就是对Ha取模，这里Ha一般是个质数，比如说最常见的 109+7 ( 1000000007 )，此时，要是答案是个分数，那该怎么办呢？答案就是要用到分数取模的方法。

• 先把内容写出来，下面再证明：

当gcd(b,Ha)==1时(其实就是 b 和 Ha 互质)

a∗b−1 ≡ a∗bHa−2(mod Ha)

这里的”≡”是同余符号，意思是左边那个和右边那个除以最后括号里的Ha的余数相同。
这样我们要求a/b模Ha的值时，就不会不知所措，只需求出 a∗bHa−2 模Ha的值就行了。

证明

这个的证明需要用到费马小定理，费马小定理就先不证了，可以百度或看其它的博文。

费马小定理：

• 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 ap−1 ≡ 1 (mod p)。
• 即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

若gcd(b,Ha)==1那么我们就可以做一下推导（此处模数都为Ha，就不打上去了）：

bHa−1 ≡ 1
bHa−2 ≡ b−1
a∗bHa−2 ≡ a∗b−1

第二行是第一行两边同乘 b−1 得到的

这样，分数取模我们就学会了。

注意

要注意几点：
* Ha必须是质数
* b与Ha要互质