最小路径覆盖

1。一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数

【转自Matirx67】二分图最大匹配的König定理及其证明

    本文将是这一系列里最短的一篇,因为我只打算把König定理证了,其它的废话一概没有。
    以下五个问题我可能会在以后的文章里说,如果你现在很想知道的话,网上去找找答案:
    1. 什么是二分图;
    2. 什么是二分图的匹配;
    3. 什么是匈牙利算法;(http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=41)
    4. König定理证到了有什么用;
    5. 为什么o上面有两个点。

    König定理是一个二分图中很重要的定理,它的意思是,一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖,我也在这里说一下:假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边,你需要选择最少的点来覆盖所有的边。比如,下面这个图中的最大匹配和最小点覆盖已分别用蓝色和红色标注。它们都等于3。这个定理相信大多数人都知道,但是网络上给出的证明并不多见。有一些网上常见的“证明”明显是错误的。因此,我在这里写一下这个定理的证明,希望对大家有所帮助。



    假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配(假设它等于M),下面给出的方法可以告诉我们,选哪M个点可以覆盖所有的边。
    匈牙利算法需要我们从右边的某个没有匹配的点,走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过,再下一条又没匹配这样交替地出现”的路(交错轨,增广路)。但是,现在我们已经找到了最大匹配,已经不存在这样的路了。换句话说,我们能寻找到很多可能的增广路,但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的点”而失败。我们给所有这样的点打上记号:从右边的所有没有匹配过的点出发,按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点(最后走出的路径是很多条不完整的增广路)。那么这些点组成了最小覆盖点集:右边所有没有打上记号的点,加上左边已经有记号的点。看图,右图中展示了两条这样的路径,标记了一共6个点(用 “√”表示)。那么,用红色圈起来的三个点就是我们的最小覆盖点集。
    首先,为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢?答案很简单,因为每个点都是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的,那么它早就当成起点被标记了;如果左边的哪个点是没有匹配过的,那就走不到它那里去(否则就找到了一条完整的增广路)。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的,同时右端点是没标记的(不然的话右边的点就可以经过这条边到达了)。因此,最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。
    其次,为什么这样得到的点集可以覆盖所有的边呢?答案同样简单。不可能存在某一条边,它的左端点是没有标记的,而右端点是有标记的。原因如下:如果这条边不属于我们的匹配边,那么左端点就可以通过这条边到达(从而得到标记);如果这条边属于我们的匹配边,那么右端点不可能是一条路径的起点,于是它的标记只能是从这条边的左端点过来的(想想匹配的定义),左端点就应该有标记。
    最后,为什么这是最小的点覆盖集呢?这当然是最小的,不可能有比M还小的点覆盖集了,因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点(再次回到匹配的定义)。
    证完了。

2。最小路径覆盖=最小路径覆盖=|G|-最大匹配数

 在一个N*N的有向图中,路径覆盖就是在图中找一些路经,使之覆盖了图中的所有顶点,
 且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联;(如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点,
 那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次);如果不考虑图中存在回路,那么每每条路径就是一个弱连通子集.
 eg. 图4*4的图G的最小路径覆盖,包含2条路径: p1->p3, p2->p4

 由上面可以得出:

 1.一个单独的顶点是一条路径;
 2.如果存在一路径p1,p2,......pk,其中p1 为起点,pk为终点,那么在覆盖图中,顶点p1,p2,......pk不再与其它的
   顶点之间存在有向边.

 最小路径覆盖就是找出最小的路径条数,使之成为G的一个路径覆盖.

 路径覆盖与二分图匹配的关系:最小路径覆盖=|G|-最大匹配数;

 其中最大匹配数的求法是把G中的每个顶点pi分成两个顶点pi'与pi'',如果在p中存在一条pi到pj的边,那么在
 二分图G'中就有一条连接pi'与pj''的无向边;这里pi' 就是p中pi的出边,pj''就是p中pj 的一条入边;

 对于公式:最小路径覆盖=|G|-最大匹配数;可以这么来理解;

 如果匹配数为零,那么P中不存在有向边,于是显然有:
 最小路径覆盖=|G|-最大匹配数=|G|-0=|G|;即P的最小路径覆盖数为|G|;

 G'中不在于匹配边时,路径覆盖数为|G|;

 如果在G'中增加一条匹配边pi'->pj'',那么在图P的路径覆盖中就存在一条由pi连接pj的边,也就是说pi与pj 在
 一条路径上,于是路径覆盖数就可以减少一个;如此继续增加匹配边,每增加一条,路径覆盖数就减少一条;
 直到匹配边不能继续增加时,路径覆盖数也不能再减少了,此时就有了前面的公式;但是这里只是说话了每条匹配边
 对应于路径覆盖中的一条路径上的一条连接两个点之间的有向边;下面来说明一个路径覆盖中的每条连接两个顶点之
 间的有向边对应于一条匹配边。

3。二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配

独立集:图中任意两个顶点都不相连的顶点集合。

1、最大团点的数量=补图中最大独立集点的数量

2、二分图中,最大独立集点的数量+最小覆盖点的数量=整个图点的数量

3、二分图中,最小覆盖点的数量=最大匹配的数量

4、图的染色问题中,最少需要的颜色的数量=最大团点的数量


————————————我是神奇的分割线————————————————


一个PXP的有向图中,路径覆盖就是在图中找一些路径,使之覆盖了图中的所有顶点,且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联;(如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点,那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次);如果不考虑图中存在回路,那么每条路径就是一个弱连通子集.
由上面可以得出:
1.一个单独的顶点是一条路径;
2.如果存在一路径p1,p2,......pk,其中p1 为起点,pk为终点,那么在覆盖图中,顶点p1,p2,......pk不再与其它的顶点之间存在有向边.
最小路径覆盖就是找出最小的路径条数,使之成为P的一个路径覆盖.
路径覆盖与 二分图匹配的关系(必须是没有圈的有向图):
最小路径覆盖=|P|-最大匹配数
其中最大匹配数的求法是把P中的每个顶点pi分成两个顶点pi'与pj'',如果在p中存在一条pi到pj的边,那么在二分图P'中就有一条连接pi'与pj''的无向边;这里pi' 就是p中pi的出边,pj''就是p中pj 的一条入边;
对于 公式:最小路径覆盖=|P|-最大匹配数;可以这么来理解;
如果匹配数为零,那么P中不存在有向边,于是显然有:
最小路径覆盖=|P|-最大匹配数=|P|-0=|P|;即P的最小路径覆盖数为|P|;
P'中不在于匹配边时,路径覆盖数为|P|;
如果在P'中增加一条匹配边pi'-->pj'',那么在图P的路径覆盖中就存在一条由pi连接pj的边,也就是说pi与pj 在一条路径上,于是路径覆盖数就可以减少一个;
如此继续增加匹配边,每增加一条,路径覆盖数就减少一条;直到匹配边不能继续增加时,路径覆盖数也不能再减少了,此时就有了前面的公式;但是这里只 是说明了每条匹配边对应于路径覆盖中的一条路径上的一条连接两个点之间的有向边;下面来说明一个路径覆盖中的每条连接两个顶点之间的有向边对应于一条匹配 边;
与前面类似,对于路径覆盖中的每条连接两个顶点之间的每条有向边pi--->pj,我们可以在匹配图中对应做一条连接pi'与pj''的边, 显然这样做出来图的是一个匹配图(这一点用反证法很容易证明,如果得到的图不是一个匹配图,那么这个图中必定存在这样两条边 pi'---pj'' 及 pi' ----pk'',(j!=k),那么在路径覆盖图中就存在了两条边pi-->pj, pi--->pk ,那边从pi出发的路径就不止一条了,这与路径覆盖图是矛盾的;还有另外一种情况就是存在pi'---pj'',pk'---pj'',这种情况也类似可证);
至此,就说明了匹配边与路径覆盖图中连接两顶点之间边的一一对应关系,那么也就说明了前面的公式成立!


//有向图的最小路径覆盖zoj 1525



//2010-08-27 21:24:11|  分类: AC |字号 订阅

zoj 1525 有向图的最小路径覆盖
//核心思想:一个点也是一条路径。最小路径覆盖(有向)=V-maxmatch();
//无向=V-maxmatch/2.
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;


int n,m,k;
const int MAXN = 121;
int uN, vN;                       // 两个集合的数目。
bool g[MAXN][MAXN];           // g[i][j]:匹配矩阵
int xM[MAXN], yM[MAXN];        // 匹配的点
bool chk[MAXN];                //


bool SearchPath(int u) //寻找增广路
{
     int v;
     for(v = 1; v <=vN; v++)  //从Y中寻找匹配的。
         if(g[u][v] && !chk[v])
         {
              chk[v] = true;
              if(yM[v] == -1 || SearchPath(yM[v])) //递归寻找增广路
              {
                   yM[v] = u;  //相互保存
                   xM[u] = v;
                   return true ;
              }
         }
         return false ;
}
//过程表达:X-—Y, u--v
int MaxMatch(){
     int u, ret = 0 ;
     memset(xM, -1, sizeof (xM));
     memset(yM, -1, sizeof (yM));
     for(u = 1; u <=uN; u++)  //以X集合为基准
         if(xM[u] == -1){ //未被匹配,则寻找
              memset(chk, false, sizeof (chk));
              if(SearchPath(u)) ret++;
         }
         return ret;
}


int main()
{
     int T;
     cin>>T;
     while(T--){
         cin>>n>>m;
         fill(&g[0][0],&g[MAXN-1][MAXN-1]+1,false);
         uN=n;
         vN=n;
         for(int i=0;i          {
              int a,b;
              cin>>a>>b;
              g[a][b]=1;
         }
         int cnts=MaxMatch();
         cout<      }
     return 0;
}

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