MIT算法导论公开课之第10课 平衡搜索树

平衡搜索树

一种搜索树结构,其维护一个n个元素的动态集,树高为O(lgn)。

不同的平衡搜索树数据结构

AVL trees
2-3 trees
2-3-4 trees
B trees
Red-black trees
Skip lists
Treaps

红黑树

红黑树是二叉搜索树,其每个结点都会附带一些额外的信息,被称为色域,

红黑树的特性

1.每个结点的色域值为黑色或红色,因此只需一个位来标明结点的色域。
2.树的根结点和叶节点的色域值为黑色。(叶结点为外部结点,其他为内部结点)
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3.每个红色结点的父结点都是黑色。
4.从树中任意一个结点x一直到x的子孙叶结点的路径中的黑色结点数(black-Height(x))都相等,black-Height(x)不将x结点计算在其中。
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红黑树的高度

  • 证明由n个值创建的红黑树的高度h<=2lg(n+1):
    改变红黑树将每个红结点和它的父结点(黑结点)合并起来。
    MIT算法导论公开课之第10课 平衡搜索树_第3张图片
    所有内部结点都有2~4个孩子(2-3-4树)。
    所有叶结点的深度等于根节点的black-Height,所以它们都相等,在同一层。
    叶结点数为n+1,设2-3-4树的高度为h’。
    则有2^h’<= n+1<=4^h’
    2^h’<= n+1 => h’<=lg(n+1)
    由红黑树的特性3可知,原红黑树最长路径中红结点的数目最多占一半。
    => h<=2lg(n+1)

红黑树的查询

进行查询操作,例如查询最大值、最小值、前一个、后一个,都能在O(lgn)时间内完成。

红黑树的更新(插入和删除)

1.使用二叉搜索树的插入和删除操作。
2.改变色域值。
3.通过旋转对树进行重排列。
  • 旋转:
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    旋转为常数时间内的操作。
  • 红黑树的插入:
    1.使用BST的插入操作。
    2.将插入节点的色域设为红色(保护特性4不被破坏,特性3会被破坏)。
    3.把特性3的破坏上移,重新上色,直到可以通过旋转操作完成红黑树的重构,然后可能需要再进行几个重新上色操作。

    • Ex:
      MIT算法导论公开课之第10课 平衡搜索树_第5张图片
      • 在此红黑树中插入15这个结点:
        使用BST的插入操作,色域设为红色:
        MIT算法导论公开课之第10课 平衡搜索树_第6张图片
        把特性3的破坏上移,重新上色:
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        右旋:
        MIT算法导论公开课之第10课 平衡搜索树_第8张图片
        左旋并改色:
        MIT算法导论公开课之第10课 平衡搜索树_第9张图片
        这样就完成了红黑树的插入操作。
  • 红黑树的插入操作伪码:

    RB-Insert(T,x):
        BST-Insert(T,x)
        color[x] ← Red
        while x≠root[T] and color[x]=red
            if p[x]=left[p[p[x]]] //结点x的父结点是父父结点的左孩子(A类情况)。
                y ← right[p[p[x]]]
                if color[y]=red
                    
                else if x=right[p[x]]
                    
                    
                else
                    
            else                 //结点x的父结点是父父结点的右孩子(B类情况)。
                ……//对称的处理另外3种情况。
            color[root[T]] ← black
改色:

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然后将C结点设为x,继续循环。

左旋:

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然后将A结点设为x,继续执行的处理操作。

右旋并改色:

MIT算法导论公开课之第10课 平衡搜索树_第12张图片
这样就完成了红黑树的重建,可终止循环。

  • 红黑树插入操作的时间:
BST的插入操作耗时为O(lgn),二叉树的重建过程中<case2>和<case3>以及改色旋转过程都是
常数时间范围内的操作,<case1>将特性3的破坏上移,明显耗时应该为O(lgn)。
综上,可知红黑树插入操作的时间O(lgn)。

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