MIT算法导论公开课之第10课 平衡搜索树

平衡搜索树

一种搜索树结构，其维护一个n个元素的动态集，树高为O(lgn)。

不同的平衡搜索树数据结构

AVL trees
2-3 trees
2-3-4 trees
B trees
Red-black trees
Skip lists
Treaps

红黑树

红黑树是二叉搜索树，其每个结点都会附带一些额外的信息，被称为色域，

红黑树的特性

1.每个结点的色域值为黑色或红色，因此只需一个位来标明结点的色域。
2.树的根结点和叶节点的色域值为黑色。（叶结点为外部结点，其他为内部结点）

3.每个红色结点的父结点都是黑色。
4.从树中任意一个结点x一直到x的子孙叶结点的路径中的黑色结点数（black-Height(x)）都相等，black-Height(x)不将x结点计算在其中。

红黑树的高度

• 证明由n个值创建的红黑树的高度h<=2lg(n+1)：
  改变红黑树将每个红结点和它的父结点（黑结点）合并起来。
  
  所有内部结点都有2~4个孩子（2-3-4树）。
  所有叶结点的深度等于根节点的black-Height，所以它们都相等，在同一层。
  叶结点数为n+1，设2-3-4树的高度为h’。
  则有2^h’<= n+1<=4^h’
  2^h’<= n+1 => h’<=lg(n+1)
  由红黑树的特性3可知，原红黑树最长路径中红结点的数目最多占一半。
  => h<=2lg(n+1)

红黑树的查询

进行查询操作，例如查询最大值、最小值、前一个、后一个，都能在O(lgn)时间内完成。

红黑树的更新（插入和删除）

1.使用二叉搜索树的插入和删除操作。
2.改变色域值。
3.通过旋转对树进行重排列。

• 旋转：
  
  旋转为常数时间内的操作。

• 红黑树的插入：
  1.使用BST的插入操作。
  2.将插入节点的色域设为红色（保护特性4不被破坏，特性3会被破坏）。
  3.把特性3的破坏上移，重新上色，直到可以通过旋转操作完成红黑树的重构，然后可能需要再进行几个重新上色操作。

  • Ex：
    
    
    • 在此红黑树中插入15这个结点：
      使用BST的插入操作，色域设为红色：
      
      把特性3的破坏上移，重新上色：
      
      右旋：
      
      左旋并改色：
      
      这样就完成了红黑树的插入操作。

• 红黑树的插入操作伪码：

    RB-Insert(T,x)：
        BST-Insert(T,x)
        color[x] ← Red
        while x≠root[T] and color[x]=red
            if p[x]=left[p[p[x]]] //结点x的父结点是父父结点的左孩子（A类情况）。
                y ← right[p[p[x]]]
                if color[y]=red
                    
                else if x=right[p[x]]
                    
                    
                else
                    
            else                 //结点x的父结点是父父结点的右孩子（B类情况）。
                ……//对称的处理另外3种情况。
            color[root[T]] ← black

改色：

然后将C结点设为x，继续循环。

左旋：

然后将A结点设为x，继续执行的处理操作。

右旋并改色：

这样就完成了红黑树的重建，可终止循环。

• 红黑树插入操作的时间：

BST的插入操作耗时为O(lgn)，二叉树的重建过程中<case2>和<case3>以及改色旋转过程都是
常数时间范围内的操作，<case1>将特性3的破坏上移，明显耗时应该为O(lgn)。
综上，可知红黑树插入操作的时间O(lgn)。