模式识别相似性测度距离计算---马氏距离

马氏距离(Mahalanobis distance)是由印度统计学家马哈拉诺比斯(P. C. Mahalanobis)提出的,表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系(例如:一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息,因为两者是有关联的)并且是尺度无关的(scale-invariant),即独立于测量尺度。对于一个均值为μ,协方差矩阵为Σ的多变量向量,其马氏距离为(x-μ)'Σ^(-1)(x-μ)。

下面是关于马氏距离的计算方法(参考:http://topic.csdn.net/u/20080911/14/f4402565-3b4f-4de4-a4fa-f4c020dd1477.html )
两个样本:
His1 = {3,4,5,6}
His2 = {2,2,8,4}
它们的均值为:
U = {2.5, 3, 6.5, 5}
协方差矩阵为:
S =
| 0.25 0.50 -0.75 0.50 |
| 0.50 1.00 -1.50 1.00 |
|-0.75 -1.50 2.25 -1.50 |
| 0.50 1.00 -1.50 1.00 |
其中S(i,j)={[His1(i)-u(i)]*[His1(j)-u(j)]+[His2(i)-u(i)]*[His2(j)-u(j)]}/2
下一步就是求出逆矩阵S^(-1)
马氏距离 D=sqrt{[His1-His2] * S^(-1) * [(His1-His2)的转置列向量]}

马氏优缺点:
1)马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的,这一点可以从上述协方差矩阵的解释中可以得出,也就是说,如果拿同样的两个样本,放入两个不同的总体中,最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的,除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同;
2)在计算马氏距离过程中,要求总体样本数大于样本的维数,否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在,这种情况下,用欧氏距离计算即可。
3)还有一种情况,满足了条件总体样本数大于样本的维数,但是协方差矩阵的逆矩阵仍然不存在,比如三个样本点(3,4),(5,6)和(7,8),这种情况是因为这三个样本在其所处的二维空间平面内共线。这种情况下,也采用欧氏距离计算。
4)在实际应用中“总体样本数大于样本的维数”这个条件是很容易满足的,而所有样本点出现3)中所描述的情况是很少出现的,所以在绝大多数情况下,马氏距离是可以顺利计算的,但是马氏距离的计算是不稳定的,不稳定的来源是协方差矩阵,这也是马氏距离与欧氏距离的最大差异之处。
优点:它不受量纲的影响,两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关;由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差)计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。缺点:它的缺点是夸大了变化微小的变量的作用。
如果用dij表示第i个样品和第j个样品之间的距离,那么对一切i,j和k,dij应该满足如下四个条件:
①当且仅当i=j时,dij=0
②dij>0
③dij=dji(对称性)
④dij≤dik+dkj(三角不等式)
显然,欧氏距离满足以上四个条件。满足以上条件的函数有多种,本节将要用到的马氏距离也是其中的一种。
第i个样品与第j个样品的马氏距离dij用下式计算:
dij =((x i 一x j)TS-1(x i一xj) )1/2(T、-1、1/2都是上标)
其中,T表示转置,x i 和x j分别为第i个和第j个样品的m个指标所组成的向量,S为样本协方差矩阵。



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