【算法概论】分治算法：查找带权中位数及中位数算法的妙用

一、带权中位数的含义：

       比如有这样一串元素：0.1， 0.35， 0.05， 0.1， 0.15， 0.05， 0.2

       这串元素的中位数是几呢，这很容易可以得出：0.1，具体查找中位数的方法可见【算法概论】查找中位数。

       而带权中位数，则是：0.2。

       → 将上述元素排序：0.05， 0.05， 0.1， 0.1， 0.15， 0.2， 0.35

       → 0.05 + 0.05 + 0.1 + 0.1 + 0.15 = 0.45 < 0.5，0.45 + 0.2 > 0.5；0.35 < 0.5，0.35 + 0.2 > 0.5。

       通过上面这个例子，应该对带权中位数已经有些概念了叭，下面给出带权中位数的定义：

       （图来源：https://blog.csdn.net/qq_40828805/article/details/79372362）

二、查找带权中位数

       1、有了带权中位数的概念，如果让我们查找带权中位数，我们应该会很快想到一个算法：

       先将序列排序（时间复杂度O(n*logn)），然后从前往后遍历数组，并将遍历到的元素的权重相加，直到所有权重和 > 0.5，返回当前的元素，则该数就是带权中位数。

       2、然而，上述算法的时间复杂度为O(n*logn)，我们是否还能将其的算法复杂度降低呢？可以，在查找中位数的算法中，最优的时间复杂度为O(n)，原因在于我们没有将数组排序。其实这个题目我们也不需要对数组排序，与查找中位数的算法思想相似，我们只需要在n个元素中找出较小的k个元素，将它们的权重相加，使得它们的和 < 1/2，而后 n-k-1的元素，将他们的权重相加，和也 < 1/2。

#include 
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using namespace std;

double WeightedMid(vector data, int k);
double Selection(vector data, int k);

int main()
{
	//int data[] = { 0.1, 0.35, 0.05, 0.1, 0.15, 0.05, 0.2 };

	//输入一串数字
	vector data;
	double temp;
	while (cin >> temp)
	{
		data.push_back(temp);
		char c = cin.get();
		if (c == '\n')		//键入回车停止输入
		{
			break;
		}
	}

	int n = data.size();
	
	cout << WeightedMid(data, n / 2) << endl;

	return 0;
}

//找到带权中位数
//data为待查找数组，k为带权中位数的位置
double WeightedMid(vector data, int k)
{
	//找到中位数
	double mid = Selection(data, k);

	//分别计算左右两部分的权重和
	double sum_sl = 0;			//左半部分数组的权重和
	double sum_sr = 0;			//右半部分数组的权重和
	for (int i = 0; i < int(data.size()); ++i)
	{
		if (data[i] < mid)
		{
			sum_sl += data[i];
		}
		else if (data[i] > mid)
		{
			sum_sr += data[i];
		}
	}

	//比较左右两部分权重和与0.5的关系
	if (sum_sl >= 0.5)
	{
		return WeightedMid(data, k - 1);
	}
	else if (sum_sr > 0.5)
	{
		return WeightedMid(data, k + 1);
	}
	else
	{
		return mid;
	}
}

//找到中位数
//data为待查找的数组，k为查找的中位数的位置
double Selection(vector data, int k)
{
	//基准值
	double pivot = data[k];

	//对小于基准值、等于基准值、大于基准值的元素进行划分
	int sl = 0, sv = 0, sr = 0;
	vector SL;
	vector SV;
	vector SR;

	int n = data.size();
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		if (data[i] < pivot)
		{
			SL.push_back(data[i]);
			++sl;
		}
		else if (data[i] == pivot)
		{
			SV.push_back(data[i]);
			++sv;
		}
		else
		{
			SR.push_back(data[i]);
			++sr;
		}
	}

	//比较k和子集所含元素的大小关系
	if (k < sl)
	{
		return Selection(SL, k);
	}
	else if (k < sv + sl)
	{
		return data[k];
	}
	else
	{
		return Selection(SR, k - sl - sv);
	}
}

三、该算法的应用

1、部分背包问题：

问题描述：

       一个窃贼去一家商店偷窃，有n件商品：第 i 件商品价值 vi 元，重 wi 磅（vi、wi都是整数），他的背包最多只能装下 w 磅物品，每个商品他可以选择一部分带走，问他最多能带走多贵的物品？

问题分析：

       窃贼可对每件商品选择一部分带走，这不同于0-1背包问题，这里的商品就像是金粉?

算法分析：

       我们可以对每件商品的价值 —— 每磅的价值 进行排序，然后按价值大小依次往背包里装，这样，时间复杂度为 O(n*logn)。这里，时间复杂度主要是排序，那么，可以不排序吗？

       当然OK。就像是上面查找带权中位数的算法，排序只是为了将单价高的商品筛选出来，所以我们并不需要将所有的商品价值进行排序。

       采用分治法（divide and conquer），先找出中位数！

       找出其中位数，将数组分为 SL[单价大于中位数]、SV[单价等于中位数]、SR[单价小于中位数] 三个集合；

       接下来分3种情况：

       ①如果 SL 数组中所有商品的重量 ≥ w，则问题在 SL 中递归解决；

       ②如果 SL + SV ≥ w，则先将 SL 中的物品全部装入包中，然后在 SV 中递归解决；

       ③如果 SL + SV < w，则将 SL 和 SV 中的物品全部装入背包中，再在 SR 中递归解决。

时间复杂度分析：

        T(n) ≤ T(n/2) + O(n)   → T(n) = O(n)

2、N个数中有一个数出现的次数大于1/2

算法分析：

       同样，该题也可以对数组先排序再进行扫描，但这样的时间复杂度略高。其实，一个数出现的次数超过一半，这个数就是中位数，该算法即 查找中位数的算法。

3、士兵站队问题

问题描述：

       在一个划分成网格的操场上，n 个士兵散乱地站在网格点上。网格点由整数坐标(x, y)表示。士兵们可以沿网格边上、下、左、右移动一步，但在同一时刻任一网格点上只能有一名士兵。按照军官的命令，士兵们要整齐地列成一个水平队列，即排列成(x, y),(x+1, y), … ,(x+n-1, y)。如何选择 x 和 y 的值才能使士兵们以最少的总移动步数排成一行？

问题分析：

       ①题目要求同一时刻任意网格点只能有一位士兵，通过适当的移动顺序和移动路线可以做到；

       ②题目要求士兵以最少的总移动步数排成一行，我们可以将问题转换为：求士兵站立的最终位置，使得每个士兵的移动步数和最小。